线性模型引论-部分习题解答Word文档格式.doc
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(4)令
第三章多元正态分布
3.3设
,利用待定系数法可设:
展开可得:
A=1B=-1C=2
,的再将的值待入原式可得:
,,
则可以根据教材66页例题3.3.3结论得结果,本题是二维的正态分布可以直接利用结论,对于一般情况需根据定义3.3.1进行分析。
3.4由题意,因为….相互独立,具有公共均值和
(1)根据可以推到则
依次类推,的均值为,
又因为=,所以=+
则,所以=
==
(2)根据
(1)可知:
=
第四章
4.3
证明:
因为By为的任一无偏估计,则A=BX
令
可以得:
则成立。
4.4
(1)
又因为
其中为幂等阵。
(2)
(3)
第五章
5.3
首先将上述模型写成矩阵形式
将上述合并,得到如下模型:
因此,需检验的假设为:
若根据LS估计,得
又因为。
成立
5.4
证明
表示为线性模型形式。
其中j=1,2,3,4
其中
故可得检验统计量
第六章
6.3对正态线性回归模型,其中为矩阵,试导出假设
的统计量.这里为给定的常数.
解:
(1)
得到的约简模型:
相当于约束条件为:
此时
对于原模型:
所以
所以其中
(2)
同理可得:
同理:
此时:
(3)、
6.4设在选模型(6.3.2)下的最小二乘估计,假设全模型(6.3.1)正确,试求,并问此结果说明了什么?
证明因
,
利用定理3.2.1
这里利用了利用迹和幂等阵的性质
则
这个结果说明为的无偏估计.
第七章习题
7.3:
解
模型为:
yij=u+αi+eij,i=1,2,…,a;
j=1,2,…,n;
记y’=(y1,1,…y1,n1,…,ya,1,…,ya,na),β’=(u,α1,α2,…αa),e’=(e11,…e1,n1,…,ea1…ea,na),
且有:
X=,
有一般形式:
y=Xβ+e
由H0=
等价于
先转化为其次线性假设Hβ=0的检验问题:
0=H*β=*
又由:
SSe=
SSHe=在Hβ=0下,
得到:
相应统计量为,
7.4解:
(1)当a=4时,记
,β’=(u1,u2,u3,u4),
,
则有:
又由:
H0:
u1=2u2=3u3,等价于H0:
u1-2u1=2u2-3u3=0,
0=H*β=
其中X,β’,E’同上
(1),则,y=Xβ+e
又由:
u1=u2,等价于H0:
u1-u2=0,
又由:
综上有,检验具有共同方差的两个正太总体的均值是相等的t统计量的平方。
第八章
①M()∩M()=0(行无关)
M(X)∩M(Z)=0 (列无关)
M[]∩M[]=0
②=显然列线性无关,即()=p+q
所以H也是对模型y=X的可识别性约束条件。
y=X
y=X’X
X’X=X’(y-Z)
G’G=’(XH)=X’X+H’H
H=0
G’G=X’X
又X=(y-Z)
=(y-Z)
e=(y-X)’(y-X)
=y’y-2X’y-2Z’y+2X’Z+X’X+Z’
分别对,求导
=X’(y-Z)③
将③带入
=-Z’XX’(y-Z)
[]Z=Z’[]y
Z’Z=Z’y
=Z’y
8.4对于一个协变量的单项分类模型:
其残差平方和:
相应地
由式(8.2.2)
回归系数的LS估计为。
由定理8.1.1知,可估。
又由定理4.1.2知,对于任意的可估函数,LS估计为其唯一的BLU估计。
所以,的BLU估计为
由式8.2.4得的LS估计为=。
相应地,的BLU估计为。
对于H0:
对于H1:
方差源
自由度
平方和与交叉乘积之和
因子A
误差
总和
a-1
N-a
N-1
因子A+误差
因子B+误差
+
协变量
1
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