导数知识点总结经典例题及解析近年高考题带答案文档格式.docx
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如果不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x0处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤:
(1)求函数的增量=f(x0+)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f’(x0)=。
二、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0)。
相应地,切线方程为y-y0=f/(x0)(x-x0)。
三、几种常见函数的导数
①②③;
④;
⑤⑥;
⑦;
⑧.
四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
‘=(v0)。
形如y=f的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——求导——回代。
法则:
y'|x=y'|u·
u'|x
五、导数应用
1、单调区间:
一般地,设函数在某个区间可导,
如果,则为增函数;
如果,则为减函数;
如果在某区间内恒有,则为常数;
2、极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;
曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;
曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3、最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数?
(x)在(a,b)内的极值;
②求函数?
(x)在区间端点的值?
(a)、?
(b);
③将函数?
(x)的各极值与?
(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
4.定积分
(1)概念:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<
x1<
…<
xi-1<
xi<
…xn=b把区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξi(i=1,2,…n)作和式In=(ξi)△x(其中△x为小区间长度),把n→∞即△x→0时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:
,即=(ξi)△x。
这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式:
=C;
=+C(m∈Q,m≠-1);
dx=ln+C;
=+C;
=sinx+C;
=-cosx+C(表中C均为常数)。
(2)定积分的性质
①(k为常数);
②;
③(其中a<c<b。
(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线x=a,x=b(a<
b),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。
如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x=a,x=b(a<
b)围成,那么所求图形的面积S=S曲边梯形AMNB-S曲边梯形DMNC=。
【经典例题】
【例1】
(2012广东)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程:
。
【解析】先对函数y=x3-x+3求导,得:
y=3x2-1。
代入点(1,3)求出斜率,k=2。
设切线方程为y-3=2(x-1),得切线方程为:
y=2x+1。
【例2】
(2012辽宁)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A的纵坐标为。
【解析】抛物线变形为:
y=x2。
求导y,=x。
代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为:
4,-2。
点P,Q两点坐标为(4,8),(-2,2)。
得出两切线为:
y=4x-8,y=-2x-2。
两直线交点为(1,-4)。
所以交点的纵坐标为-4。
【例3】
(2011课标)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x+2y-3=0。
(1)求a,b的值;
(2)如果当x>
0,且x≠1时,f(x)>
,求k的取值范围。
b=1
f(x)=1
【解析】
(1)f,(x)=由于直线x+2y-3=0的斜率为,且过点(1,1),
=
f,
(1)=
故即解得a=1,b=1。
(2)由
(1)知,所以。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,。
而,故
当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<
0,可得h(x)>
从而当x>
0,且x1时,f(x)-(+)>
0,即f(x)>
+.
(ii)设0<
k<
1.由于当x(1,)时,(k-1)(x2+1)+2x>
0,故h’(x)>
0,而h
(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>
0,可得h(x)<
0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时h’(x)>
0,而h
(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>
综合得,k的取值范围为(-,0].
【例4】
(2012山东)已知函数f(x)=(k为常数,e=……是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行。
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x2+x),其中为f(x)的导函数,证明:
对任意x>0,。
【解析】由f(x)=可得,而,即,解得;
(Ⅱ),令可得,
当时,;
当时,。
于是在区间内为增函数;
在内为减函数。
(Ⅲ),
当时,,.
当时,要证。
只需证,然后构造函数即可证明。
【例5】
(2012北京)已知函数,其中.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(Ⅲ)设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数)
(Ⅰ),(),在区间和上,;
在区间上,.所以,的单调递减区间是和,单调递增区间是.
(Ⅱ)设切点坐标为,则解得,.
(Ⅲ),则解,得,
所以,在区间上,为递减函数,在区间上,为递增函数.
当,即时,在区间上,为递增函数,所以最大值为.
当,即时,在区间上,为递减函数,所以最大值为.
当,即时,的最大值为和中较大者;
,解得,所以,时,最大值为,时,最大值为.
综上所述,当时,最大值为,
当时,的最大值为.
【例6】
(2012重庆)已知函数在处取得极值为
(1)求、b的值;
(2)若有极大值28,求在上的最大值。
【解析】错误!
未找到引用源。
(Ⅰ)因故由于在点处取得极值
故有即,化简得解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
令,得当时,故在上为增函数;
当时,故在上为减函数当时,故在上为增函数。
由此可知在处取得极大值,在处取得极小值由题设条件知得,
此时,因此上的最小值为。
【例7】
(2011安徽)设,其中为正实数
(Ⅰ)当时,求的极值点;
(Ⅱ)若为上的单调函数,求的取值范围。
(1)f'
(x)=当a=时令f'
(x)=0解得x=或x=
当x时,f'
(x)>
0;
(x)<
当x,f'
0,所以f(x)在x=处取得极大值,在x=处取得极小值。
(2)若为上的单调函数则f'
(x)恒大于等于零或f'
(x)恒小于等于零,
因为a>
0所以Δ=(-2a)2-4a≤0,解得0<
a≤1.
【课堂练习】
一、选择题
1.(2011全国)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()
ABCD1
2.(2010课标全国)曲线在点(-1,-1)处的切线方程为()
Ay=2x+1 By=2x-1 Cy=-2x-3 Dy=-2x-2
3.(2012陕西)设函数f(x)=xex,则()
Ax=1为f(x)的极大值 Bx=1为f(x)的极小值
Cx=-1为f(x)的极大值 Dx=-1为f(x)的极大值
4.(2008广东理)设,若函数,有大于零的极值点,则()
A.(2008江西、山西、天津理科)函数有()
A极小值-1,极大值1B极小值-2,极大值3
C极小值-2,极大值2D极小值-1,极大值3
6.(2006湖南理科)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,
>0.且,.则不等式f(x)g(x)<0的解集是()
AB
CD
7.(2007海南、宁夏理)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
8.(2008湖北理)若f(x)=上是减函数,则b的取值范围是()
A.[-1,+∞]B.(-1,+∞)C.D.(-∞,-1)
9.(2005江西理科)已知函数的图像如右图所示(其中是函数,下面四个图象中的图象大致是()
ABCD
(1)(2006江西、天津理科)右图中阴影部分的面积是()
ABCD
二、填空题:
11.(2007湖北文)已知函数的图象在M(1,f
(1))处的切线方程是+2,f
(1)—f’
(1)=______________.
12.(2007湖南理)函数在区间上的最小值是.
13.(2008全国Ⅱ卷理)设曲线在点处的切线与直线垂直,则.
14.(2006湖北文)半径为r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+∞)上的变量,则=2r,式可以用语言叙述为:
对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于的式子:
式可以用语言叙述为:
.
三、解答题:
15.(2005重庆文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为:
且生产x吨的成本为(元)。
问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?
最大利润是多少?
(利润=收入─成本)。
16.(2008重庆文)设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求:
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
17.(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
3.(2006浙江理)设曲线≥0)在点M(t,)处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t)。
(Ⅰ)求切线的方程;
(Ⅱ)求S(t)的最大值。
19.(2007海南、宁夏文)设函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.
20.(2007安徽理)设a≥0,f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>
0).
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0.+∞
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