初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义全Word文档下载推荐.doc

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第十二讲 因式分解的应用

第十三讲 考试（未装订在内，另发）

第十四讲 试卷讲评

第1讲实数

（一）

【知识梳理】

一、非负数：

正数和零统称为非负数

1、几种常见的非负数

（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0

在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示

设a为实数，则

绝对值的性质：

①绝对值最小的实数是0

②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；

若|a|＝|b|，则a＝±

b

③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a

④|a·

b|＝|a|·

|b|，（b≠0）

⑤||a|－|b||≤|a±

b|≤|a|＋|b|

（2）实数的偶次幂是非负数

如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0

（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.

算术平方根的性质：

（a≥0）＝

2、非负数的性质

（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数

（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零

（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零

3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；

4、推广到的化简；

5、利用配方法来解题：

开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。

【例题精讲】

◆专题一：

利用非负数的性质解题：

【例1】已知实数x、y、z满足，求x＋y＋z的平方根。

【巩固】

1、已知，则的值为______________；

2、若，

的值

【拓展】

设a、b、c是实数，若，求a、b、c的值

◆专题二：

对于的应用

【例2】已知x、y是实数，且；

【例3】

已知、、适合关系式：

，求的值。

1、已知b＝，且的算术平方根是，的立方根是，试求的平方根和立方根。

2、已知，则；

【拓展】在实数范围内，设＝，求的个位数字。

◆专题三：

，的化简及应用

常用方法：

利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式

【例4】化简：

【例5】若实数x满足方程，那么；

1、若，，且，则；

2、已知实数a满足a＋＝0，那么；

3、设

（1）求y的最小值

（2）求使6＜y＜7的x的取值范围。

【拓展】若，求的值。

【课后练习】

1、如果a<

0，那么。

2、已知和是数的平方根，则求的值。

3、设a、b、c是△ABC的三边的长，则＝。

4、已知x、y是实数，且则＝。

5、若0<

a<

1，且，则为。

6、代数式的最小值是。

7、已知实数满足＝，则＝。

8、已知△ABC的三边长为、、，和满足，求的取值范围。

9、已知，求、、的值。

10、实数、、、满足，，求的值。

第2讲实数

（二）

一、实数的性质

1、设x为有理数，y为无理数，则x＋y，x－y都为无理数；

当x≠0时，xy，都是无理数；

当x＝0时，xy，就是有理数了；

2、若x、y都是有理数，是无理数，则要使＝0成立，须使x＝y＝0;

3、若x、y、m、n都是有理数，都是无理数，则要使成立，须使x＝y，m＝n

二、实数大小的比较

直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法

三、证明一个数是有理数的方法：

证明这个数是一个有限小数或无限循环小数，或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。

◆例1：

比较下列两数的大小：

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

【巩固】设？

◆例2：

若的小数部分为，的小数部分为，则的值为。

1、已知为的整数部分，是9的平方根，且，求的值。

2、设的整数部分为，小数部分为，试求的值。

【拓展】已知：

的整数部分为m，小数部分为n，的整数部分为a，小数部分为b，

试计算：

的值。

◆例3：

已知、是有理数，且，求、的值。

1、已知a、b是有理数，且，求a、b的值

2、已知、是有理数，并且、满足，求的值。

◆例4：

设，，试用、的代数式表示

【巩固】：

已知，，试用、的代数式表示

◆例5：

求证是有理数（*）

◆例6：

a与b是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由。

（*）

【拓展】：

证明是无理数。

若a、b满足的取值范围。

已知，求x和y的取值范围；

1、比较大小：

2、设a、b是正有理数，且满足，求ab的值。

3、设的整数部分为，小数部分为，试求的值。

4、已知与的小数部分分别是a、b，求ab－3a＋4b＋8的值。

5、已知a、b为有理数，x、y分别表示的整数部分和小数部分，且，求a＋b的值。

6、证明是无理数。

第3讲平面直角坐标系、函数

1、平面直角坐标系：

是在数轴的基础上，为了实际问题的需要而建立起来的。

是学习函数的基础，数形结合是本节最显著的特点。

2、坐标平面内任意一点P，都有唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；

反过来，对于任何一对有序实数（x，y），在平面内都有唯一的点P和它对应。

与点P相对应的有序实数对（x，y）叫做点P的坐标。

3、平面直角坐标系内的点的特征

（1）若点P（x，y）在第一象限内；

（2）若点P（x，y）在第二象限内

（3）若点P（x，y）在第三象限内；

（4）若点P（x，y）在第四象限内

（5）若点P（x，y）在x轴上；

（6）若点P（x，y）在y轴上

4、对称点的坐标特征

（1）点P（x，y）关于x轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（x，－y）

（2）点P（x，y）关于y轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（－x，y）

（3）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P（－x，－y）

5、函数的有关定义

（1）函数的定义、在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于每一个x确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则x是自变量，y是的函数。

（2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。

6、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以

（1）使分母不为零；

（2）开平方时被开方数为非负数；

（3）为整式时其自变量的范围是全体实数；

另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。

【例题精讲】

若点M（1＋a，2b－1）在第二象限，则点N（a－1，1－2b）在第象限；

1、点Q（3－a，5－a）在第二象限，则＝；

2、若点P（2a＋4，3－a）关于y的对称点在第三象限，求a的取值范围为；

方程组的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内，求m的取值范围

【巩固】已知点M（a、b）在第四象限，且a、b是二元一次方程组的解，求点M关于坐标原点的对称点的坐标。

在直角坐标系中，已知A（1，1），在轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）个。

A、1B、2C、3D、4

【拓展】在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0）、B（0，10）、

C（－10，0）、D（0，－10），则该正方形内及边界上共有_______个整点（即横纵坐标都是整数的点）

求下列函数中自变量的取值范围、

如图，在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m，求鸡场的一边长y（m）与另一边长x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围。

x

y

1、求下列函数中，自变量的取值范围：

①；

②；

③

2、周长为10cm的等腰三角形，腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式是______________；

自变量x的取值范围为_________________．

【拓展】若函数y＝的自变量x的取值范围为一切实数，求c的取值范围。

已知函数的图像如图所示，求点A、B的坐标。

【巩固】若点P（，）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

◆例7：

一个装有进出水管的水池，单位时间内进、出水量都是一定的．已知水池的容积为　升，又知单开进水管20分钟可把空水池注满；

若同时打开进、出水管，20分钟可把满水池的水放完，现已知水池内有水升，先打开进水管分钟，再打开出水管，两管同时开放，直至把水池中的水放完，则能确定反映这一过程中水池的水量（升）随时间（分钟）变化的函数图象是（　　）

320

200

Ｏ

3

8

（升）

（分钟）

Ａ．

11

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．