初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义全Word文档下载推荐.doc
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第十二讲 因式分解的应用
第十三讲 考试(未装订在内,另发)
第十四讲 试卷讲评
第1讲实数
(一)
【知识梳理】
一、非负数:
正数和零统称为非负数
1、几种常见的非负数
(1)实数的绝对值是非负数,即|a|≥0
在数轴上,表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值,用|a|来表示
设a为实数,则
绝对值的性质:
①绝对值最小的实数是0
②若a与b互为相反数,则|a|=|b|;
若|a|=|b|,则a=±
b
③对任意实数a,则|a|≥a,|a|≥-a
④|a·
b|=|a|·
|b|,(b≠0)
⑤||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|
(2)实数的偶次幂是非负数
如果a为任意实数,则≥0(n为自然数),当n=1时,≥0
(3)算术平方根是非负数,即≥0,其中a≥0.
算术平方根的性质:
(a≥0)=
2、非负数的性质
(1)有限个非负数的和、积、商(除数不为零)是非负数
(2)若干个非负数的和等于零,则每个加数都为零
(3)若非负数不大于零,则此非负数必为零
3、对于形如的式子,被开方数必须为非负数;
4、推广到的化简;
5、利用配方法来解题:
开平方或开立方时,将被开方数配成完全平方式或完全立方。
【例题精讲】
◆专题一:
利用非负数的性质解题:
【例1】已知实数x、y、z满足,求x+y+z的平方根。
【巩固】
1、已知,则的值为______________;
2、若,
的值
【拓展】
设a、b、c是实数,若,求a、b、c的值
◆专题二:
对于的应用
【例2】已知x、y是实数,且;
【例3】
已知、、适合关系式:
,求的值。
1、已知b=,且的算术平方根是,的立方根是,试求的平方根和立方根。
2、已知,则;
【拓展】在实数范围内,设=,求的个位数字。
◆专题三:
,的化简及应用
常用方法:
利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式
【例4】化简:
【例5】若实数x满足方程,那么;
1、若,,且,则;
2、已知实数a满足a+=0,那么;
3、设
(1)求y的最小值
(2)求使6<y<7的x的取值范围。
【拓展】若,求的值。
【课后练习】
1、如果a<
0,那么。
2、已知和是数的平方根,则求的值。
3、设a、b、c是△ABC的三边的长,则=。
4、已知x、y是实数,且则=。
5、若0<
a<
1,且,则为。
6、代数式的最小值是。
7、已知实数满足=,则=。
8、已知△ABC的三边长为、、,和满足,求的取值范围。
9、已知,求、、的值。
10、实数、、、满足,,求的值。
第2讲实数
(二)
一、实数的性质
1、设x为有理数,y为无理数,则x+y,x-y都为无理数;
当x≠0时,xy,都是无理数;
当x=0时,xy,就是有理数了;
2、若x、y都是有理数,是无理数,则要使=0成立,须使x=y=0;
3、若x、y、m、n都是有理数,都是无理数,则要使成立,须使x=y,m=n
二、实数大小的比较
直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法
三、证明一个数是有理数的方法:
证明这个数是一个有限小数或无限循环小数,或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。
◆例1:
比较下列两数的大小:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
【巩固】设?
◆例2:
若的小数部分为,的小数部分为,则的值为。
1、已知为的整数部分,是9的平方根,且,求的值。
2、设的整数部分为,小数部分为,试求的值。
【拓展】已知:
的整数部分为m,小数部分为n,的整数部分为a,小数部分为b,
试计算:
的值。
◆例3:
已知、是有理数,且,求、的值。
1、已知a、b是有理数,且,求a、b的值
2、已知、是有理数,并且、满足,求的值。
◆例4:
设,,试用、的代数式表示
【巩固】:
已知,,试用、的代数式表示
◆例5:
求证是有理数(*)
◆例6:
a与b是两个不相等的有理数,试判断实数是有理数还是无理数,并说明理由。
(*)
【拓展】:
证明是无理数。
若a、b满足的取值范围。
已知,求x和y的取值范围;
1、比较大小:
2、设a、b是正有理数,且满足,求ab的值。
3、设的整数部分为,小数部分为,试求的值。
4、已知与的小数部分分别是a、b,求ab-3a+4b+8的值。
5、已知a、b为有理数,x、y分别表示的整数部分和小数部分,且,求a+b的值。
6、证明是无理数。
第3讲平面直角坐标系、函数
1、平面直角坐标系:
是在数轴的基础上,为了实际问题的需要而建立起来的。
是学习函数的基础,数形结合是本节最显著的特点。
2、坐标平面内任意一点P,都有唯一的一对有序实数(x,y)和它对应;
反过来,对于任何一对有序实数(x,y),在平面内都有唯一的点P和它对应。
与点P相对应的有序实数对(x,y)叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系内的点的特征
(1)若点P(x,y)在第一象限内;
(2)若点P(x,y)在第二象限内
(3)若点P(x,y)在第三象限内;
(4)若点P(x,y)在第四象限内
(5)若点P(x,y)在x轴上;
(6)若点P(x,y)在y轴上
4、对称点的坐标特征
(1)点P(x,y)关于x轴对称(或成轴反射)的点的坐标为P(x,-y)
(2)点P(x,y)关于y轴对称(或成轴反射)的点的坐标为P(-x,y)
(3)点P(x,y)关于原点对称的点的坐标为P(-x,-y)
5、函数的有关定义
(1)函数的定义、在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于每一个x确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,则x是自变量,y是的函数。
(2)函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式,也称函数解析式。
6、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以
(1)使分母不为零;
(2)开平方时被开方数为非负数;
(3)为整式时其自变量的范围是全体实数;
另外,当函数关系表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义。
【例题精讲】
若点M(1+a,2b-1)在第二象限,则点N(a-1,1-2b)在第象限;
1、点Q(3-a,5-a)在第二象限,则=;
2、若点P(2a+4,3-a)关于y的对称点在第三象限,求a的取值范围为;
方程组的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内,求m的取值范围
【巩固】已知点M(a、b)在第四象限,且a、b是二元一次方程组的解,求点M关于坐标原点的对称点的坐标。
在直角坐标系中,已知A(1,1),在轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有()个。
A、1B、2C、3D、4
【拓展】在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD,它的4个顶点为A(10,0)、B(0,10)、
C(-10,0)、D(0,-10),则该正方形内及边界上共有_______个整点(即横纵坐标都是整数的点)
求下列函数中自变量的取值范围、
如图,在靠墙(墙长为18m)的地方围建一个矩形的养鸡场,另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆总长为35m,求鸡场的一边长y(m)与另一边长x(m)的函数关系式,并求自变量的取值范围。
x
y
1、求下列函数中,自变量的取值范围:
①;
②;
③
2、周长为10cm的等腰三角形,腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式是______________;
自变量x的取值范围为_________________.
【拓展】若函数y=的自变量x的取值范围为一切实数,求c的取值范围。
已知函数的图像如图所示,求点A、B的坐标。
【巩固】若点P(,)在函数的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
◆例7:
一个装有进出水管的水池,单位时间内进、出水量都是一定的.已知水池的容积为 升,又知单开进水管20分钟可把空水池注满;
若同时打开进、出水管,20分钟可把满水池的水放完,现已知水池内有水升,先打开进水管分钟,再打开出水管,两管同时开放,直至把水池中的水放完,则能确定反映这一过程中水池的水量(升)随时间(分钟)变化的函数图象是( )
320
200
O
3
8
(升)
(分钟)
A.
11
B.
C.
D.
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