复数的运算说课稿文档格式.doc
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2、能力目标:
培养学生运算的能力。
3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣,勇于创新的精神。
(四)教学重点:
复数的概念,复数的代数运算是重点
(五)教学难点:
复数代数形式的乘、除法法则。
教学方法:
(六)启发式教学法关键:
掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。
二、说教法:
1、本节课通过复习整式的运算,复数的运算,通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性,使学生体会其中的思想方法,培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。
2、例题的学习,使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法,提高运算能力,归纳、概括能力。
三、说学法:
1、复习已学知识,为本节课学习作铺垫。
通过对数系学习的回忆,引出课题,激发学生学习动机。
2、让学生板演运算法则,有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。
3、通过例题学会复数的运算,归纳运算简便方法。
培养学生归纳问题、转化问题的努力。
四、说课过程:
(一)、复习提问:
1、1.虚数单位:
(1)它的平方等于-1,即 ;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立
2、与-1的关系:
就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-
3、复数的概念:
形如a+bi
(a,b∈R)叫做复数,a,b分别叫做它的实部和虚部。
4、复数的分类:
复数a+bi
(a,b∈R),当b=0时,就是实数;
当b≠0时,叫做虚数;
当a=0,b≠0时,叫做纯虚数;
5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是a1=a2,b1=b2。
6、复数的分类:
虚数不能比较大小,只有等与不等。
即使是也没有大小。
7、复数的模:
若向量表示复数z,则称的模r为复数z的模,;
积或商的模可利用模的性质
(1),
(2)
8、复平面、实轴、虚轴:
点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
复数复平面内的点
(二)类比代数式,引入复数运算:
一、复数代数形式的加减运算
类似根据代数式的加减法,
则复数z1与z2的和:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
复数z1与z2的差:
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
二、复数的加法运算满足交换律和结合律
1、复数的加法运算满足交换律:
z1+z2=z2+z1.
证明:
设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R).
∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.
z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.
又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1.
∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.
2、复数的加法运算满足结合律:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
设z1=a1+=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R).
∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)
=[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i
=[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i
=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.
z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i]
=[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i
=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i
∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).
∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律
三、复数代数形式的加减运算的几何意义
复数的加(减)法(a+bi)±
(c+di)=(a±
c)+(b±
d)i.
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
1.复平面内的点平面向量
2.复数平面向量
3.复数加法的几何意义:
设复数z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所对应的向量为、,即、的坐标形式为=(a,b),=(c,d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ对应的向量是,
∴=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i
4.复数减法的几何意义:
复数减法是加法的逆运算,设z=(a-c)+(b-d)i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以为一条对角线,为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数z-z1的差(a-c)+(b-d)i对应由于,所以,两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
讲解范例:
例1计算:
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
解:
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i
例2计算:
(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i)
解法一:
原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.
解法二:
∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,
(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
……
(2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i.
相加得(共有1001个式子):
原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)
=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i
例3已知复数z1=2+i,z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B,求对应的复数z,z在平面内所对应的点在第几象限?
z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,
∵z的实部a=-1<0,虚部b=1>0,
∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.
点评:
任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是zB-zA. ,而所表示的复数是zA-zB,故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同,那么向量所对应的复数是惟一的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关
5、复数的乘除法运算:
复数的乘法:
z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.
6、共轭复数:
若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;
特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数;
,两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。
,
7、复数的除法:
(a+bi)(c+di)==,分母实数化是常规方法
复数的运算,典型例题精析:
例4.
(1)复数等于()
-i+iC.-1+iD.-1-i
解析:
复数=,选C.
(2)若复数同时满足-=2,=(为虚数单位),则=.
已知;
(3)设复数z满足关系,求z;
设z=a+bi(a,b为实数),由已知可得
由复数相等可得:
,解得,所以
设z=a+bi-x+yi(a,b为实数)复数问题实数化。
(4)若,解方程
设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:
由复数相等的定义可得:
∴a=-4,b=3,∴x=-4+3i。
例4:
(1)复数z满足,则z对应的点在复平面内表示的图形为(A)
A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线
令z=x+yi(x,y∈R),则x2+(y+1)2-[x2+(y-1)2]=1,∴y=1/4。
故选A。
8.复数的代数式运算技巧:
(1)i的周期性:
i4=1,所以,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1
(2)①②③④
(3)“1”的立方根的性质:
①②③④⑤
扩充知识:
9、特别地,zB-zA.,为两点间的距离。
z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线;
,z对应的点的轨迹是一个圆;
,z对应的点的轨迹是一个椭圆;
,z对应的点的轨迹是双曲线。
10、显然有公式:
11、实系数一元二次方程的根问题:
(1)当时,方程有两个实根。
(2)当时,方程有两个共轭虚根,其中。
此时有且。
注意两种题型:
虚系数一元二次方程有实根问题:
不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。
但仍然适用韦达定理。
已知是实系数一元二次方程的两个根,求的方法:
(1)当时,
(2)当时,
①即,则
②即,则
例6
(1)计算:
答案:
(2)设复数z满足:
,求|z|的最大值与最小值;
|z|的最大值为,最小值为;
(3)若,解方程
(4)设,则复数,在复平面内对应的图形面积为_______。
∵|u|=||•|1+i|=|z|,∴≤|u|≤2,故面积S=。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
已知z=1+i,a,b为实数,
(1)若ω=z2+3-4,求|ω|;
(2)若,求a,b的值。
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