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届全国高考考前信息卷五数学
2018届全国高考考前信息卷(五)
数学试卷
一、填空题(本题满分54分,第1题到第6题,每小题4分;第7题到第12题,每小题4分)
1.若复数(a+i)(1+i)在复平面上所对应的点在实轴上,则实数a= .
2.设集合A={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0},集合B={x|x>0},则A∩B= .
3.(x2﹣)8的二项展开式中x7项的系数为 .
4.若一个球的体积为36π,则它的表面积为 .
5.若等差数列{an}前9项的和为27,且a10=8,则d= .
6.函数的单调递增区间为 .
7.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=5,以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点,则双曲线M的标准方程为 .
8.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 .
9.若命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,则实数m的取值范围是 .
10.把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为 .
11.已知点,且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上,则四边形ABCD的面积为 .
12.已知O为△ABC的外心,且,若,则α+β的最大值为 .
二、选择题(本题满分20分,每小题5分)
13.已知向量都是非零向量,“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件
14.已知x>y>0,则( )
A.B.sinx﹣siny>0C.D.lnx+lny>0
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f
(2)<f(﹣2)<f(0)B.f(0)<f
(2)<f(﹣2)C.f(﹣2)<f(0)<f
(2)D.f
(2)<f(0)<f(﹣2)
16.已知x,y∈R,且,则存在θ∈R,使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P(x,y)构成的区域面积为( )
A.4﹣B.4﹣C.D.+
三、解答题(本题满分76分)
17.已知图一是四面体ABCD的三视图,E是AB的中点,F是CD的中点.
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)求EF与平面ABC所成的角.
18.已知函数f(x)=x2﹣4x+a+3:
(1)若函数y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,求实数a的取值范围;
(2)设函数g(x)=x+b,当a=3时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[5,8],使得g(x1)=f(x2),求实数b的取值范围.
19.如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰CA的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2.
(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;
(2)求的最小值.
20.已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,定义:
△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”,如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,那么称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比,已知点是椭圆的一个焦点,且C1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4.
(1)若椭圆C2与椭圆C1相似,且C2与C1的相似比为2:
1,求椭圆C2的方程;
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任意一点,若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点,证明:
点Q一定在双曲线4x2﹣4y2=1上;
(3)已知直线l:
y=x+1,与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABCD,(设其面积为S),使得A、C在直线l上,B、D在曲线Cb上?
若存在,求出函数S=f(b)的解析式及定义域;若不存在,请说明理由.
21.如果存在常数a,使得数列{an}满足:
若x是数列{an}中的一项,则a﹣x也是数列{an}中的一项,称数列{an}为“兑换数列”,常数a是它的“兑换系数”.
(1)若数列:
2,3,6,m(m>6)是“兑换系数”为a的“兑换数列”,求m和a的值;
(2)已知有穷等差数列{bn}的项数是n0(n0≥3),所有项之和是B,求证:
数列{bn}是“兑换数列”,并用n0和B表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列{cn},是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?
给出你的结论,并说明理由.
参考答案与试题解析
一、填空题(本题满分54分,第1题到第6题,每小题4分;第7题到第12题,每小题4分)
1.若复数(a+i)(1+i)在复平面上所对应的点在实轴上,则实数a= ﹣1 .
【考点】A4:
复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
【解答】解:
复数(a+i)(1+i)=a﹣1+(a+1)i在复平面上所对应的点(a﹣1,a+1)在实轴上,则实数a满足a+1=0,
解得a=﹣1.
故答案为:
﹣1.
2.设集合A={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0},集合B={x|x>0},则A∩B= [3,+∞) .
【考点】1E:
交集及其运算.
【分析】解关于A的不等式,求出A,B的交集即可.
【解答】解:
A={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0}={x|x≥3或x≤2},
B={x|x>0},
故A∩B=[3,+∞),
故答案为:
[3,+∞).
3.(x2﹣)8的二项展开式中x7项的系数为 ﹣56 .
【考点】DB:
二项式系数的性质.
【分析】利用通项公式即可得出.
【解答】解:
(x2﹣)8的二项展开式通项公式Tr+1=(﹣1)rC8rx16﹣3r,
令16﹣3r=7,解得r=3,
故(x2﹣)8的二项展开式中x7项的系数为﹣56,
故答案为:
﹣56
4.若一个球的体积为36π,则它的表面积为 36π .
【考点】LG:
球的体积和表面积.
【分析】求出球的半径,直接利用表面积公式求解即可.
【解答】解:
因为球的体积为36π,所以球的半径:
=3,
球的表面积:
4π×32=36π,
故答案为:
36π.
5.若等差数列{an}前9项的和为27,且a10=8,则d= 1 .
【考点】85:
等差数列的前n项和.
【分析】由题意可得:
,解得d.
【解答】解:
由题意可得:
,解得d=1.
故答案为:
1.
6.函数的单调递增区间为 .
【考点】H5:
正弦函数的单调性.
【分析】利用辅助角公式化简,结合三角函数的性质可得单调递增区间.
【解答】解:
函数=2sin(x+),
令,k∈Z,
得:
,
∴函数f(x)的单调递增区为:
.
故答案为:
.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=5,以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点,则双曲线M的标准方程为 .
【考点】KC:
双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,求出A、B、C、D四点的坐标,分析可得c=6,由双曲线的定义可得2a=||AC|﹣|CB||=13﹣5=8,即a=4,由双曲线的性质可得b的值,将a、b的值代入双曲线方程即可得答案.
【解答】解:
根据题意,分析可得A:
(﹣6,0),B(6,0),D(﹣6,5),C(6,5),则|AC|==13,
若双曲线的焦点为A、B,则c=6,
又由双曲线恰好过C、D两点,则2a=||AC|﹣|CB||=13﹣5=8,即a=4,
又由c=6,则b2=a2﹣c2=20;
则双曲线的方程为:
;
故答案为:
.
8.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 64 .
【考点】8I:
数列与函数的综合;8G:
等比数列的性质.
【分析】求出数列的等比与首项,化简a1a2…an,然后求解最值.
【解答】解:
等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,
可得q(a1+a3)=5,解得q=.
a1+q2a1=10,解得a1=8.
则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+(n﹣1)=8n•==,
当n=3或4时,表达式取得最大值:
=26=64.
故答案为:
64.
9.若命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,则实数m的取值范围是 m≤1 .
【考点】3R:
函数恒成立问题.
【分析】由x的范围求得tanx的范围,可得命题“对任意,tanx<m恒成立的m的范围,然后利用补集思想求得答案.
【解答】解:
由,得tanx∈[﹣,1],
若“对任意,tanx<m恒成立”,则m>1.
∵命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,
∴m≤1.
故答案为:
m≤1.
10.把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为 .
【考点】CB:
古典概型及其概率计算公式;C7:
等可能事件的概率.
【分析】利用分布计数原理求出骰子投掷2次所有的结果,通过解二元一次方程组判断出方程组有唯一解的条件,先求出不满足该条件的结果个数,再求出方程组有唯一解的结果个数,利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率.
【解答】解:
骰子投掷2次所有的结果有6×6=36
由得(b﹣2a)y=3﹣2a
当b﹣2a≠0时,方程组有唯一解
当b=2a时包含的结果有:
当a=1时,b=2
当a=2时,b=4
当a=3时,b=6共三个
所以方程组只有一个解包含的基本结果有36﹣3=33
由古典概型的概率公式得
故答案为:
11.已知点,且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上,则四边形ABCD的面积为 .
【考点】9V:
向量在几何中的应用.
【分析】由条件可设,从而可以得出向量的坐标,根据题意有,从而便得到,这两式联立即可求出x1,x2,从而得出D点的坐标,进一步求出的坐标,从而可以由求出cos∠BAD,从而可得出sin∠BAD,根据即可得出平行四边形ABCD的面积.
【解答】解:
根据题意设,则:
;
∵;
∴;
由②得,=;
整理得,x1x2=5,∴带入①式解得,或3(舍去);
∴x1=﹣3;
∴;
∴;
∴,;
∴=;
∴;
∴四边形ABCD的面积为:
=.
故答案为:
.
12.已知O为△ABC的外心,且,若,则α+β的最大值为 .
【考点】9V:
向量在几何中的应用.
【分析】用表示出,两边平方,利用2倍角公式得出α+β与αβ的关系,再利用基本不等式得出α+β的范围.
【解答】解:
∵,
∴﹣=α()+β(﹣),
∴(α+β﹣1)=α+β,
∴α+β﹣1<0,即α+β<1.
∵cosA=,∴cos∠BOC=cos2A=2cos2A﹣1=﹣,
设△ABC的外接圆半径为R,则(α+β﹣1)2R2=α2R2+β2R2﹣αβR2,
整理得:
18(α+β)=9+32αβ,
∵αβ≤()2,
∴18(α+β)≤9+32•,解得α+β≤或α+β≥(舍),
故答案为:
.
二、选择题(本题满分20分,每小题5分)
13.已知向量都是非零向量,“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件
【考点】2L:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由向量,都是非零向量,“•=||•||”表示两向量同线,而“∥”表示两向量同向或反向,进而根据充要条件的定义,可得答案.
【解答】解:
•=||•||=||•||•cos<,>
即cos<,>=1
即向量、同向,此时“∥”一定成立
而“
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