关于钢材下料问题的数学建模论文Word格式文档下载.doc
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为了找到替代比例与最大收益的关系,我们分别给m赋值为0、10%、20%、30%、40%时,用Lingo解得各自的最大收益,并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z和替代比例m的关系,为4322083.31416.7279.1715.833160hammmm=+(a为总售出额)。
第四问就是将钢厂下料问题一般化,将本文中模型进行推广,得出了可普遍应用的一般化模型。
关键词:
优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo、四次拟合12问题重述问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管,两类钢管除长度不同外规格无差别,A类型钢管长度为19米,B类型钢管长度为29米。
假设某单位要订购该钢厂的一批钢管,要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度,具体如下:
3米订货数量(根)5米订货数量(根)7米订货数量(根)8米订货数量(根)A类钢管30704060B类钢管25357045钢厂在切割钢管时,要求每种钢管的切割模式都不能超过5种,建立数学模型解决下列问题:
(1)在满足订单要求的前提下,如何切割才能使余料最省;
(2)在满足订单要求的前提下,如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少;
(3)如果B类钢管的单价是A类钢管的2.5倍,又目前钢厂B类钢管产量不足,如果客户要求将B类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足,而B类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A类代替,又该如何切割,才能使钢厂的收益最大,并给出替代比例与最大收益之间的关系。
(4)如果要求A类钢管切割模式有1m种、B类钢管钢管切割模式有2m种,每类钢管都需要切割成n种不同尺寸,且不同钢管种每种尺寸的订货量也不同,试给出求钢管厂最大收益的一般数学模型。
问题分析问题分析对于原料下料问题首先要确定采用哪些合理的切割模式。
本题要求每种钢管的切割模式都不能超过5种,于是问题便转化为在满足客户需要的条件下,求出有哪几种合理的模式,每种模式切割多少根原料钢管最为节省。
而所谓节省,可3以有两种标准,一是切割后剩余的总余料量最省,二是切割原料钢管的总根数最省。
第一问即为解决总余料最少的情况。
本问我们计划运用整数规划模型,以最短余料长度为目标函数,运用线性规划、整数规划和非线性规划算法求出最优解。
第二问即为解决总根数最少的情况。
我们还是运用整数规划模型,但以最少原料根数为目标函数,运用线性规划和非线性规划算法求出最优解。
第三问,我们站在钢厂的角度,在考虑成本及实际情况的基础上,用一部分A类钢管替代B类钢管生产3米的成品钢管。
我们计划运用双目标规划模型,分别以钢厂收益和B类钢管可生产出的长度为3米的成品钢管根数为自变量建立目标函数求解。
第四问为解决整个原料下料问题的模型的推广。
模型假设模型假设1.假设原料钢管切割过程中的无原料损耗;
2.假设原料钢管切割过程无因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况;
3.假设原料钢管与顾客所需钢管的大小一致;
4.假设原料钢管进货正常,没有额外追加订单;
5.假设切割得钢管均为合格品。
符号说明符号说明符号说明im按照第i种切割模式()5,4,3,2,1=i切割的钢管的余料量kir按照第i种切割模式()5,4,3,2,1=i切割的编号为k()4,3,2,1=k的mmmm8753、的钢管的根数ix表示按照第i()5,4,3,2,1=i种切割模式切割的A类钢管的根数;
jy表示按照第j()5,4,3,2,1=j种切割模式切割的B类钢管的根4模型建立与求解模型建立与求解首先要确定采用哪种切割模式是可行的。
所谓切割模式,是按照实际需要在原料上安排切割组合。
确定哪些切割模式是合理的。
通常假设一个合理切割模式的余料应该小于客户需要的钢管的最小尺寸。
在这种合理性假设下,切割模式情况如下表所示。
问题化为在满足客户需要的条件下,按照哪几种合理的模式,切割多少根钢管最为节省。
而所谓节省,可以有两种标准:
a.切割后剩余的总余料量最少;
b.切割原料钢管的总根数最少。
下面将对这两个目标分别讨论。
表1A类钢管满足条件的切割模式序号m3钢管根数m5钢管根数m7钢管根数m8钢管根数余料(米)110020202011301200432000数;
t第三问中表示A类钢管的单价;
1p第四问中表示A类钢管的单价;
2p第四问中表示B类钢管的单价;
kh表示满足客户要求的A类钢管的k种成品长度()nk,2,1=;
mh表示满足客户要求的B类钢管的m种成品长度()nm,2,1=;
kir表示按照第i()1,2,1mi=种切割模式下A类钢管生产长度为kh的根数;
mjs表示按照第j()2,2,1mj=种切割模式下B类钢管生产长度为mh的根数;
kd表示客户对A类钢管长度为kh的需要量;
mt表示客户对B类钢管长度为mh的需要量;
5502102613001721010830012910111表2B类钢管满足条件的切割模式序号m3钢管根数m5钢管根数m7钢管根数m8钢管根数余料(米)1003102010303700104340005810006113007230108032009120201031110114210012502005.1问题一:
余料最少5.1.1模型的建立:
针对问题一,我们设定决策变量:
:
im按照第i种切割模式()5,4,3,2,1=i切割的钢管的余料量;
ix表示按照第i种切割模式()5,4,3,2,1=i切割的钢管的根数;
1ir表示按照第i()5,4,3,2,1=i种切割模式下用A类钢管生产的3米成品钢管的根数;
6:
2ir表示按照第i()5,4,3,2,1=i种切割模式下用A类钢管生产的5米成品钢管的根数;
3ir表示按照第i()5,4,3,2,1=i种切割模式下用A类钢管生产的7米成品钢管的根数;
4ir表示按照第i()5,4,3,2,1=i种切割模式下用A类钢管生产的8米成品钢管的根数。
下面为求解本问的约束条件:
A类钢管:
余料长度:
()=Nmmirrrrmiiiiiii,、20543218753194321成品钢管根数满足的约束条件:
+60407030545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111xrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrB类钢管:
()=Nmmirrrrmiiiiiii,20543218753294321、成品钢管根数满足的约束条件:
7+45703525545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111xrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxr目标函数:
最短余料长度5544332211minxmxmxmxmxmz+=该问题的线性规划模型为:
5544332211minxmxmxmxmxmz+=()()1234123412341234.1935781234530704060293578123453070406002,.(12345j=1234)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijistmrrrrirxrxrxrxmrrrrirxrxrxrxmmNNNi=、,xr、,、5.1.2模型求解:
在模型的求解过程中,由于可行解较多,考虑到钢厂的实际生产模式和收支平衡,故我们在原有模型的基础上增加了约束条件:
使生产出的成品钢管除满足客户要求外,多处要求的钢管根数在合理的变化范围内。
用Lingo求解时,我们分别对客户要求3m、5m、7m、8m钢管根数数量上分别各增加5、10、15(根),通过大量计算和比较,我们找出了在各增加5根时解较优,如下:
8表一表一A类钢管的类钢管的5种切割模式种切割模式A类m3钢管根数m5钢管根数m7钢管根数m8钢管根数余料(米)第一种10020第二种02011第三种01200第四种32000第五种02102表二表二B类钢管的类钢管的5种切割模式种切割模式B类m3钢管根数m5钢管根数m7钢管根数m8钢管根数余料(米)第一种00310第二种11300第三种01030第四种81000第五种31110需A类钢管65根,采用第一种切割模式切割20根、第二种20根,第三种20根,第四种5根,第五种0根,余料共20米。
需B类钢管40根,采用第一种切割模式切割0根、第二种25根,第三种15根,第四种0根,第五种0根,无余料。
5.2问题二:
根数最少5.2.1模型的建立针对问题二,我们设定决策变量:
9:
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