创新设计文科 选修44 第1节.docx

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创新设计文科选修44第1节

第1节　坐标系

最新考纲　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

知识梳理

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

2.极坐标系与点的极坐标

（1）极坐标系：

如图所示，在平面内取一个定点O（极点）；自极点O引一条射线Ox（极轴）；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.

（2）极坐标：

平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.

3.极坐标与直角坐标的互化

点M

直角坐标（x，y）

极坐标（ρ，θ）

互化公式

ρ2＝x2＋y2

tanθ＝（x≠0）

4.圆的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r（0≤θ＜2π）

圆心为（r，0），半径为r的圆

ρ＝2rcos_θ

圆心为，半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ（0≤θ＜π）

5.直线的极坐标方程

（1）直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α（ρ∈R）.

（2）直线l过点M（a，0）且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos_θ＝a.

（3）直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.（　　）

（2）若点P的直角坐标为（1，－），则点P的一个极坐标是.（　　）

（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.（　　）

（4）极坐标方程θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条直线.（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2.（选修4－4P15习题T3改编）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）

A.ρ＝，0≤θ≤

B.ρ＝，0≤θ≤

C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

解析　∵y＝1－x（0≤x≤1），

∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1）；

∴ρ＝.

答案　A

3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________.

解析　由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.

答案　x2＋y2－2y＝0

4.（2017·北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________.

解析　由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得

x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即（x－1）2＋（y－2）2＝1，

圆心坐标为C（1，2），半径长为1.

∵点P的坐标为（1，0），∴点P在圆C外.

又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.

答案　1

5.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________.

解析　由2ρsin＝，

得2ρ＝，

∴y－x＝1.

由A，得点A的直角坐标为（2，－2）.

∴点A到直线l的距离d＝＝.

答案　

考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换

【例1】求双曲线C：

x2－＝1经过φ：

变换后所得曲线C′的焦点坐标.

解　设曲线C′上任意一点P′（x′，y′），

由得

代入曲线C：

x2－＝1，得－＝1，

即曲线C′的方程为－＝1，

因此曲线C′的焦点F1（－5，0），F2（5，0）.

规律方法　1.平面上的曲线y＝f（x）在变换φ：

的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f（x），整理得y′＝h（x′）为所求.

2.解答该类问题应明确两点：

一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P（x，y）与变换后的点P′（x′，y′）的坐标关系，用方程思想求解.

【训练1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：

（1）求点A经过φ变换所得点A′的坐标；

（2）求直线l：

y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.

解　

（1）设点A′（x′，y′），由伸缩变换φ：

得∴

∴点A′的坐标为（1，－1）.

（2）设P′（x′，y′）是直线l′上任意一点.

由伸缩变换φ：

得

代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，即y′＝x′，

∴y＝x为所求直线l′的方程.

考点二　极坐标与直角坐标的互化

【例2－1】在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

解　

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为：

x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：

ρsin＝，

即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：

y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

【例2－2】（2016·北京卷改编）在极坐标系中,已知极坐标方程C1：

ρcosθ-ρsinθ－1＝0，C2：

ρ＝2cosθ.

（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.

解　

（1）由C1：

ρcosθ－ρsinθ－1＝0，

∴x－y－1＝0，表示一条直线.

由C2：

ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ.

∴x2＋y2＝2x，即（x－1）2＋y2＝1.

所以C2是圆心为（1，0），半径r＝1的圆.

（2）由

（1）知，点（1，0）在直线x－y－1＝0上，

所以直线C1过圆C2的圆心.

因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径.

所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.

规律方法　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝（x≠0）.

2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.

【训练2】

（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程.

（2）把曲线C1：

x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程.

解　

（1）∵点A在直线ρcos＝a上，

∴a＝cos＝，

所以直线的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，

从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

（2）将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，

得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

考点三　曲线极坐标方程的应用

【例3－1】（2017·全国Ⅱ卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

解　

（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）.

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ（ρ>0）.

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）.

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0）.

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

【例3－2】（2016·全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝4cosθ.

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解　

（1）消去t，得C1的普通方程x2＋（y－1）2＝a2，

∴曲线C1表示以点（0，1）为圆心，a为半径的圆.

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，

得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.

（2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1（舍去），a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.

所以a＝1.

规律方法　1.

（1）例3－1中利用极径、极角的几何意义，表示△AOB的面积，借助三角函数的性质求最值优化了解题过程.

（2）例3－2第

（1）题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第

（2）题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C3：

θ＝α0的联系，进而求a.

2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.

【训练3】（2018·太原一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2：

x2＋y2－2y＝0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：

θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）.

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围.

解　

（1）C1的普通方程为＋y2＝1，

C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0，

C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（2）联立θ＝α（ρ≥0）与C1的极坐标方程得|OA|2＝，

联立θ＝α（ρ≥0）与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，

则|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4（1＋sin2α）－4.

令t＝1＋sin2α，则|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4，

当0<α<时，t∈（1，2）.

设f（t）＝＋4t－4，易得f（t）在（1，2）上单调递增，

∴2<|OA|2＋|OB|2<5，

故|OA|2＋|OB|2的取值范围是（2，5）.

基础巩固题组

（建议用时：

50分钟）

1.（2017·天津卷改编）在极坐标系中，已知直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sinθ，试判定直线与圆的位置关系.

解　由4ρcos＋1＝0得2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，