导数题型总结解析版.docx
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导数题型总结解析版
导数题型总结(解析版)
导数题型总结(解析版)
体型一:
关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:
1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法
5、二次函数区间最值求法:
(1)对称轴(重视单调区间)
与定义域的关系
(2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。
注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型:
函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:
令f'(x)0得到两个根;
第二步:
画两图或列表;
第三步:
由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种:
第一种:
分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
第二种:
变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
例1:
设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x),f(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D
上,g(x)0恒成立,则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,
(1)若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”,求m的取值范围;
(2)若对满足m2的任何一个实数m,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”,求ba的最大
g(x)x2mx3
(1)Qyf(x)在区间0,3上为“凸函数”
则g(x)x2mx30在区间[0,3]上恒成立
解法二:
分离变量法:
变更主元法
2xx230
21x1
2xx30
例2:
设函数f(x)1x2ax3a2xb(0a1,bR)
3
(I)求函数f(x)的单调区间和极值;
(n)若对任意的x[a1,a2],不等式f(x)a恒成立,求a的取值范围
(二次函数区间最值的例子)
22
解:
(I)f(x)x4ax3ax3axa
令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)
令f(x)
0,得f(x)的单调递减区间为
玄)和(3a,+)
x=a时,f(x)极小值=—a3
4
b;
当x=3a时,
f(x)极大值=b.
由|f(x)a,得:
对任意的
[a1,a2],
x24ax3a2a恒成立①
则等价于g(x)这个二次函数
gmax(X)agmin(x)a
Q0a1,a1
aa2a(放缩法)
g(x)这个二次函数的最值问题:
单调增函数的最值问题。
即定义域在对称轴的右边,
22
g(x)x4ax3a在[a1,a2]上是增函数
g(x)maxg(a2)2a1.
g(x)ming(a1)4a4.
于是,对任意x[a
1,a2],不等式①恒成立,等价于
g(a2)4a4a,解得4a1.
g(a1)2a1a5
4
又0a1,—a1.
5
点评:
重视二次函数区间最值求法:
对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种:
构造函数求最值
题型特征:
f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立;从而转化为第一、二种题型
例3;已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1b)处的切线斜率为3,
3t62
g(x)xx(t1)x3(t0)
2
([)求a,b的值;
(n)当x[1,4]时,求f(x)的值域;
(川)当x[1,4]时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数t的取值范围。
f(x)的值域是[4,16]
思路2:
二次函数区间最值
二、参数问题
题型一:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:
转化为f'(x)0或f'(x)0在给定区间上恒成立,回归基础题型解法2:
利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间
的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:
前者是后者的子集
13^a12
例4:
已知aR,函数f(x)xx(4a1)x.
122
(I)如果函数g(x)f(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值;
列表如下:
x
(-8,-2品)
-243
(-2J3,273)
2yf3
(21/3,+8)
f(x)
+
0
—
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知:
f(x)的极大值为
f(23)
43,
f(x)的极小值为f(2.3)43
(n)v函数f(x)是(
7
)上的单调函数,
•-f(x)^x2(a
4
1)x
(4a
1)0,在给定区间
R上恒成立判别式法
则(a1)2
41
4
(4a
2
1)a2a0,
解得:
0a2.
综上,a的取值范围是{a0a2}.
1312
例5、已知函数f(x)-x-(2a)x(1a)x(a0).
32
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若f(x)在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。
子集思想
(1)f(x)
2
x(2a)x1a(x1)(x1
a).
1、当a
0时,f(x)
(x1)2
0恒成立,
当且仅当
x1时取“
=”号,
f(x)在(,
)单调递增。
2、当a
0时,由f(x)
0,得X1
1,X2a
1,且X1X2,
2、0,1a1,,a10
综上,a的取值范围是[0,1]。
三、题型二:
根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步:
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:
解不等式(组)即可;
例6、已知函数f(x)】x3(k^x2,g(x)1kx,且f(x)在区间(2,)上为增函数.
323
(1)求实数k的取值范围;
(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
解:
(1)由题意f(x)x2(k1)x•/f(x)在区间(2,)上为增函数,
h(x)
2
x(k1)xk
(x
k)(x1)
令h(x)
0得xk或x
1由,
(1)知k1,
①当k
1时,h(x)(x
1)2
0,h(x)在R上递增,显然不合题意
②当k1时,h(x),h(x)随x的变化情况如下表:
x
(,k)
k
(k,1)
1
(1,)
h(x)
0
一
0
h(x)
/
极大值
k3k21
623
极小值
k1
2
/
k1
由于0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x)0有三个不同的实根,故
2
-0,即(k1)(k22k2)
3
k1-
0•••c,解得k1,3
k22k20
综上,所求k的取值范围为k1,3
根的个数知道,部分根可求或已知。
1
例7、已知函数f(x)ax3—x22xc
2
(1)若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点,求f(x)的极值;
12
(2)若g(x)bxxd,在
(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的
2
图像恒有含x1的三个不同交点?
若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。
解:
(1)vf(x)的图像过原点,贝Uf(0)
0
c
0
2
f(x)3axx
2,
3a
1
20
a1
3x2
x
2(3x
2)(x1)0
f(
3
占占2
22
1)
f极小值(x)f()
2
3
7
(2)设函数g(x)的图像与函数
f(x)的图像恒存在含x
1的三个不同交点,
1
尹1)
312c1,2
xx2x-bx
22
即:
x3](b1)x2x
2
(计算难点来了:
)h(x)
1
x(b
2
1
-(b1)
2
31
x(b
2
1)整理得:
0恒有含x1的三个不等实根
1)x2x」(b1)0有含x
2
1的根,
则h(x)必可分解为(x
1)(二次式)
0,故用添项配凑法因式分解,
x3x2x2!
(b
2
1)x
x^(b1)
2
十字相乘法分解:
x2(x
1)
2(b
1)x2
x-(b
2
x2(x
1)
1(b
1)x2
2x(b
:
1)
1
(b
1)x
(b
1)x1
1)
1)
0
x2(x
(x
1)x2
11
尹1)x尹1)
等价于
12-(b1)x2
21
x-(b1)x
2
1
2(b
1
2(b
1)
1)
0恒有含x1的三个不等实根
0有两个不等于-1的不等实根。
12
—(b1)24
4
21
1)2尹1)
1(b
扣
1)
1)
0
b(,1)(1,3)(3,
0
题2:
切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数
32
f(x)axbxcx在点X。
处取得极小值—4,
使其导数f'(x)0
为(1,3),求:
(1)
f(x)的解析式;
(2)若过点P(1,m)可作曲线
yf(x)的三条切线,
的x的取值范围
求实数m的取
值范围.
(1)由题意得:
2
f'(x)3ax
2bxc3a(x1)(x3),(a
0)
•••在(,1)上f'(x)0;
在(1,3)上f'(x)0;在(3,
)上f'(x)0
因此f(x)在X01处取得极小值4
•-abc4①,f'
(1)3a2bc0②,f'(3)27a6bc0③
a1
由①②③联立得:
32
b6,二f(x)x6x9x
c9
(2)设切点Q(t,f(t)),y
f(t)
f(t)(xt)
32
(t6t9t)
(
3t2
12t
9)x
t(3t2
12t
9)
t(t2
6t9)
(
3t2
12t
9)x
t(2t2
6t)过(
1,m)
m(
3t2
12t
9)(
1)2t:
36t
2
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