人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)Word文件下载.docx
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5.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与CD所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.135°
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a﹣2b)cosC=c(2cosB﹣cosA),△ABC的面积为a2sin,则C=( )
7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,下列四个结论中错误的是( )
A.直线B1C与直线AC所成的角为60°
B.直线B1C与平面AD1C所成的角为60°
C.直线B1C与直线AD1所成的角为90°
D.直线B1C与直线AB所成的角为90°
8.如图,四边形ABCD为正方形,四边形EFBD为矩形,且平面ABCD与平面EFBD互相垂直.若多面体ABCDEF的体积为,则该多面体外接球表面积的最小值为( )
A.6π B.8π C.12π D.16π
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,选对得分,选错、少选不得分)
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,则角A可为( )
10.如图,四边形ABCD为直角梯形,∠D=90°
,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列说法正确的有( )
A.任意两个复数都不能比大小
B.若z=a+bi(a∈R,b∈R),则当且仅当a=b=0时,z=0
C.若z1,z2∈C,且z12+z22=0,则z1=z2=0
D.若复数z满足|z|=1,则|z+2i|的最大值为3
12.如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,E,F分别是BC,A1C的中点,则( )
A.
B.
C.向量与向量的夹角是60°
D.异面直线EF与DD1所成的角为45°
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
13.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||= ;
•= .
14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,且,则pq= .
15.已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD=BD=2,将△ABD沿对角线BD折起,使点A到达点A'
的位置,当A'
C=时,三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 .
16.已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为,在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体,并且正四面体在该几何体内可以任意转动,则a的最大值为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.
(1)若AB=,求BC;
(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.
18.
(1)已知z1=1﹣2i,z2=3+4i,求满足=+的复数z.
(2)已知z,ω为复数,(1+3i)﹣z为纯虚数,ω=,且|ω|=5.求复数ω.
19.如图,墙上有一壁画,最高点A离地面4米,最低点B离地面2米.观察者从距离墙x(x>1)米,离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.
(1)若a=1.5,问:
观察者离墙多远时,视角θ最大?
(2)若tanθ=,当a变化时,求x的取值范围.
20.如图,已知复平面内平行四边形ABCD中,点A对应的复数为﹣1,对应的复数为2+2i,对应的复数为4﹣4i.
(Ⅰ)求D点对应的复数;
(Ⅱ)求平行四边形ABCD的面积.
21.如图所示,等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成,AB=1,CF=2.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起,点F移至点G,使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°
.
(1)求四棱锥G﹣ABCE的体积;
(2)求异面直线AE与BG所成角的大小.
22.如图,四边形MABC中,△ABC是等腰直角三角形,AC⊥BC,△MAC是边长为2的正三角形,以AC为折痕,将△MAC向上折叠到△DAC的位置,使点D在平面ABC内的射影在AB上,再将△MAC向下折叠到△EAC的位置,使平面EAC⊥平面ABC,形成几何体DABCE.
(1)点F在BC上,若DF∥平面EAC,求点F的位置;
(2)求直线AB与平面EBC所成角的余弦值.
参考答案
【答案】D
【分析】根据共线向量的定义即可得结论.
【解答】解:
由题,点C是线段AB靠近点B的三等分点,
=3=﹣3,所以选项A错误;
=2=﹣2,所以选项B和选项C错误,选项D正确.
故选:
D.
【知识点】平行向量(共线)、向量数乘和线性运算
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概念得答案.
∵z(3+i)=3+i2020,i2020=(i2)1010=(﹣1)1010=1,
∴z(3+i)=4,∴z=,
∴=,
∴共轭复数的虚部为,
【知识点】复数的运算
【答案】C
【分析】利用图形,求出数量积的向量,然后转化求解即可.
由题意,▱ABCD中,∠DAB=60°
,AD=2AB=2,
延长AB至点E,且AB=BE,
可知=+=,=﹣=﹣2,
所以•=()•(﹣2)
=﹣2﹣2=1.
C.
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
【答案】B
【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出.
设S=2i+3i2+4i3+……+2020i2019.
∴iS=2i2+3i3+……+2020i2020.
则(1﹣i)S=i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020.
==i+
==﹣2021+i,
∴S==.
B.
【分析】易知∠ABA1即为所求,再由△ABA1为等腰直角三角形,得解.
因为AB∥CD,所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角,
因为△ABA1为等腰直角三角形,所以∠ABA1=45°
【知识点】异面直线及其所成的角
【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角,再结合两角和公式与三角形的内角和定理,可推出sinB=2sinA;
然后利用三角形的面积公式、正弦定理,即可得解.
由正弦定理知,==,
∵(a﹣2b)cosC=c(2cosB﹣cosA),
∴(sinA﹣2sinB)cosC=sinC(2cosB﹣cosA),
即sinAcosC+sinCcosA=2(sinBcosC+cosBsinC),
∴sin(A+C)=2sin(B+C),即sinB=2sinA.
∵△ABC的面积为a2sin,
∴S=bcsinA=a2sin,
根据正弦定理得,sinB•sinC•sinA=sin2A•sin,
化简得,sinB•sincos=sinA•cos,
∵∈(0,),∴cos>0,
∴sin==,
∴=,即C=.
【知识点】正弦定理、余弦定理
【分析】连接AB1,求出∠ACB1可判断选项A;
连接B1D1,找出点B1在平面AD1C上的投影O,设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ,由cosθ=可判断选项B;
利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角,再进行相关运算,即可得解.
连接AB1,∵△AB1C为等边三角形,∴∠ACB1=60°
,即直线B1C与AC所成的角为60°
,故选项A正确;
连接B1D1,∵AB1=B1C=CD1=AD1,∴四面体AB1CD1是正四面体,
∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心,设为点O,连接B1O,OC,则OC=BC,
设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ,
则cosθ===≠,故选项B错误;
连接BC1,∵AD1∥BC1,且B1C⊥BC1,∴直线B1C与AD1所成的角为90°
,故选项C正确;
∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥B1C,即直线B1C与AB所成的角为90°
,故选项D正确.
【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角
【答案】A
【分析】由题意可得AC⊥面EFBD,可得VABCDEF=VC﹣EFBD+VA﹣EFBD=2VA﹣EFBD,再由多面体ABCDEF的体积为,可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系,再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心,进而求出外接球的半径,再由均值不等式可得外接球的半径的最小值,进而求出外接球的表面积的最小值.
设正方形ABCD的边长为a,矩形BDEF的高为b,
因为正方形
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