1998年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案文.docx
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1998年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案文
1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文史类)
一.选择题:
本大题共15小题;第
(1)-(10)题每小题4分,第(11)-第(15)题每小题5分,65分.在每小题给出四项选项,只一项符合题目要求的
(1)sin600º()
(A)
(B)-
(C)
(D)-
(2)函数y=a|x|(a>1)的图像是()
(3)已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是()
(A)5
(B)4
(C)3
(D)2
(4)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是()
(A)A1A2+B1B2=0
(B)A1A2-B1B2=0
(C)
(D)
(5)函数f(x)=(x≠0)的反函数f-1(x)=()
(A)x(x≠0)
(B)(x≠0)
(C)-x(x≠0)
(D)-(x≠0)
(6)已知点P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则[0,2π]内α的取值范围是()
(A)()∪()
(B)()∪()
(C)()∪()
(D)()∪()
(7)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为()
(A)120º
(B)150º
(C)180º
(D)240º
(8)复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是()
(A)i
(B)-i
(C)±i
(D)±i
(9)如果棱台的两底面积是S,S′,中截面的面积是S0,那么()
(A)2
(B)S0=
(C)2S0=S+S′
(D)
(10)2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共()
(A)6种
(B)12种
(C)18种
(D)24种
(11)向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示,那么水瓶的形状是()
(12)椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是()
(A)±
(B)±
(C)±
(D)±
(13)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为()
(A)4
(B)2
(C)2
(D)
(14)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角的正弦值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(15)等比数列{an}的公比为-,前n项的和Sn满足Sn=,那么的值为()
(A)
(B)±
(C)
(D)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
(16)设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心距离是__________
(17)(x+2)10(x2-1)的展开的x10系数为____________(用数字作答)
(18)如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件____________时,有A1C⊥B1D1.(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考试所有可能的情形)
(19)关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题
①y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-);
②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)的图像关于点对称;
④y=f(x)的图像关于直线x=-对称.
其中正确的命题的序号是______(注:
把你认为正确的命题的序号都填上.)
三.解答题:
本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(20)(本小题满分10分)
设a≠b,解关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
(21)(本小题满分11分)
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=,求sinB的值.以下公式供解题时参考:
,
,
,
.
(22)(本小题满分12分)
如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线C的方程.
(23)(本小题满分12分)
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90º,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C1.
(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.
(24)(本小题满分12分)
如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).
(25)(本小题满分12分)
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.
(Ⅰ)求数列{bn}的能项bn;
(Ⅱ)设数列{an}的通项an=lg(1+),记Sn是数列{an}的前n项的和.试比较Sn与lgbn+1的大小,并证明你的结论.
1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文史类)参考解答及评分标准
一.选择题:
本题考查基本知识和基本运算.第
(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.
(1)D
(2)B(3)C(4)A(5)B(6)B(7)C(8)D(9)A(10)B(11)B(12)A(13)B(14)C(15)D
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(16)(17)-5120
(18)AC⊥BD,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD是正方形,菱形等
(19)①,③注:
第(19)题多填、漏填的错填均给0分.
三.解答题:
(20)本小题主要考查不等式基本知识,不等式的解法.满分10分.
解:
将原不等式化为
(a2-b2)x+b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2,
移项,整理后得(a-b)2(x2-x)≤0,
∵a≠b即(a-b)2>0,
∴x2-x≤0,
即x(x-1)≤0.
解此不等式,得解集{x|0≤x≤1}.
(21)本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.满分11分.
解:
由正弦定理和已知条件a+c=2b得
sinA+sinC=2sinB.
由和差化积公式得.
由A+B+C=π,得=,
又A-C=,得cos=sinB,
∴cos=2sincos.
∵0<<,≠0,
∴sin=,
从而cos==
∴sinB==
(22)本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.满分12分.
解法一:
如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:
曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛线段的一段,其中A、B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为
y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=|MN|.
所以M(-,0),N(,0).
由|AM|=,|AN|=3得
(xA+)2+2PxA=17,①
(xA-)2+2PxA=9.②
由①、②两式联立解得xA=,再将其代入①式并由p>0解得
或.
因为△AMN是锐角三角形,所以>xA,故舍去.
∴P=4,xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4.
综上得曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).
解法二:
如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0).
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|==2,由于△AMN为锐角三角形,故有
xN=|AE|+|EN|=4.
=|ME|+=4
XB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段C的方程
y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.满分12分.
注:
题中赋分为得到该结论时所得分值,不给中间分.
解:
(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC,
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.
∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,
∴∠A1AD=45º为所求.
(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.又D是AC的中点,BC=2,AC=2,
∴DE=1,AD=A1D=,tgA1ED==.
故∠A1ED=60º为所求.
(Ⅲ)作BF⊥AC,F为垂足,由面A1ACC1⊥面ABC,知BF⊥面A1ACC1.
∵B1B∥面A1ACC1,
∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离.
在Rt△ABC中,,
∴为所求.
(24)本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.满分12分.
解法一:
设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k>0为比例系数,依题意,即所求的a,b值使y值最小.
根据题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
得(0<a<30=,①
于是
当a+2=时取等号,y达最小值.
这时a=6,a=-10(舍去).
将a=6代入①式得b=3.
故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二:
依题意,即所求的a,b的值使ab最大.
由题设知4a+2ab+2a=60(a>0,b>0)
即a+2b+ab=30(a>0,b>0).
∵a+2b≥2,
∴2+ab≤30,
当且仅当a=2b时,上式取等号.
由a>0,b>0,解得0<ab≤18.
即当a=2b时,ab取得最大值,其最大值18.
∴2b2=18.解得b=3,a=6.
故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
(25)本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳,推理能力以及用
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