协方差和相关系数文档格式.doc
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对二维连续型随机变量(X,Y),其函数的期望为
例题2.40 设,求
2.41 设(X,Y)服从区域A上的均匀分布,其中A为x轴、y轴及直线围成的三角形区域,如图2-10所示。
求函数的数学期望。
随机变量的数学期望和方差的三个重要性质:
1、
推广:
2、 设X与Y相互独立,则
设相互独立,则
3、 设X与Y相互独立,则
仅对性质3就连续型随机变量加以证明
证明3
由于X与Y相互独立,所以与相互独立,利用性质2、知道
从而有,
可以证明:
相互独立的随机变量其各自的函数间,仍然相互独立。
例题2.42 某学校流行某种传染病,患者约占,为此学校决定对全校1000名师生进行抽血化验。
现有两个方案:
①逐个化验;
②按四个人一组分组,并把四个人抽到的血混合在一起化验,若发现有问题再对四个人逐个化验。
问那种方案好?
2.10.2协方差与相关系数
分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系;
结合上面性质3的证明,可以得到以下结论:
若X与Y相互独立,则
可以用来刻划X与Y之间的某种关系。
定义 设(X,Y)为二维随机变量,若
存在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记作或,即
特别地
故方差,是协方差的特例。
计算协方差通常采用如下公式:
例题2.43 设二维随机变量(X,Y)的分布密度
求
定义 若存在,且大于零,则称
为X与Y的相关系数,记作,即
或
若,则称X与Y不相关。
由上述讨论知,当X与Y相互独立时,协方差,从而。
即X与Y相互独立时,X与Y一定不相关。
但X与Y不相关时,X与Y未必独立。
例题2.44 设,即X的分布函数
又。
试证明X与Y不相关,也不相互独立。
上例说明,若,则与不相关。
但,说明Y与X间确实存在某种关系。
实质上,所刻划的只是随机变量X与Y之间的线性相关程度。
若为随机变量X与Y之间的相关系数,则有
1、
2、 的充要条件是:
,其中a,b为常数,且a≠0。
从上述结论看出,的值域为[-1,1],当时,表明X与Y之间几乎成线性相关关系:
。
当时,X与Y不相关。
注意,这里所讲的不相关,仅指不线性相关,虽然不线性相关,可能有其它的(如二次函数)非线性的相关关系。
对于二维正态分布,我们已经证明了二维正态变量的两个分量X与Y独立的充要条件是。
还可以证明:
恰好是两个正态分量X与Y的相关系数。
对于二维正态变量,X与Y相互独立与不相关是等价的。
2.10.3矩 协方差矩阵
定义 设X是随机变量,若
,
存在,则称为X的k阶原点矩,称为X的k阶中心矩。
矩是随机变量的重要数字特征,数学期望和方差是它们的特例。
当X是离散型随机变量时
,
当X是连续型随机变量时
例题2.45 设,求。
定义 设(X,Y)为二维随机变量,若
存在,则分别称为二维随机变量(X,Y)的阶混合原点矩和阶混合中心矩。
显然,协方差是(X,Y)的二阶混合中心矩,简称为二阶中心矩。
若二维随机变量(X,Y)的四个二阶中心矩都存在,分别记为
将它们排成矩阵形式
称为二维随机变量的协方差矩阵。
相关系数性质的证明
定理1
.
证:
因为对于、的标准化随机变量、有,所以
D()=D+D2=22=2
(1)
即
定理2
当且仅当时,=1,且当b>
0时,=1;
当b<
0时,=-1.
(1)设,则,,
当b>
0时,=1;
(2)设=1,由定理1的证明可知D()=2
(1),
当=1时,=2()=0;
当=-1时,D(+)=2(1+)=0,
则
当时,D()==0
又由,得,即在概率为1的意义下,
当时,
所以,其中
定理3
与独立时=0.
因为当与独立时,所以=0
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- 协方差 相关系数
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