复合函数知识总结及例题Word文档下载推荐.doc
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设的定义域为D,即,由此得,的作用范围为E,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,F为的定义域。
例5.若函数的定义域为,则的定义域为____________。
的作用范围为,又f对作用,所以,解得
即的定义域为
评注:
函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题
(1)引理证明
已知函数.若在区间)上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间)上是增函数.
证明:
在区间)内任取两个数,使
因为在区间)上是减函数,所以,记,即
因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,
故函数在区间)上是增函数.
(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
增↗
减↘
以上规律还可总结为:
“同向得增,异向得减”或“同增异减”.
(3)、复合函数的单调性判断步骤:
ⅰ
确定函数的定义域;
ⅱ
将复合函数分解成两个简单函数:
与。
ⅲ
分别确定分解成的两个函数的单调性;
ⅳ
若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数;
若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数为减函数。
(4)例题演练
例1、求函数的单调区间,并用单调定义给予证明
解:
定义域
单调减区间是设则
=
∵∴
∴>
又底数
∴即
∴在上是减函数
同理可证:
在上是增函数
[例]2、讨论函数的单调性.
[解]由得函数的定义域为
则当时,若,∵为增函数,∴为增函数.
若,∵为减函数.
∴为减函数。
当时,若,则为减函数,若,则为增函数.
例3、.已知y=(2-)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.
∵a>0且a≠1
当a>1时,函数t=2->
0是减函数
由y=(2-)在[0,1]上x的减函数,知y=t是增函数,
∴a>1
由x[0,1]时,2-2-a>0,得a<2,
∴1<a<2
当0<
a<
1时,函数t=2->
0是增函数
由y=(2-)在[0,1]上x的减函数,知y=t是减函数,
∴0<
1
由x[0,1]时,2-2-1>0,∴0<
综上述,0<
1或1<a<2
例4、已知函数(为负整数)的图象经过点,设.问是否存在实数使得在区间上是减函
数,且在区间上是减函数?
并证明你的结论。
[解析]由已知,得,
其中∴即,
解得
∵为负整数,∴
∴,
即,
∴
假设存在实数,使得满足条件,设,
∵,当时,为减函数,
∴,∴
∵,∴,
∴,
∴ ①
当时,增函数,∴
∴. ②
由①、②可知,故存在
一.指数函数与对数函数
.同底的指数函数与对数函数互为反函数;
(二)主要方法:
1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;
2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;
3.比较几个数的大小的常用方法有:
①以和为桥梁;
②利用函数的单调性;
③作差.
(三)例题分析:
例1.
(1)若,则,,从小到大依次为;
(2)若,且,,都是正数,则,,从小到大依次为;
(3)设,且(,),则与的大小关系是()
()()()()
(1)由得,故.
(2)令,则,,,,
∴,∴;
同理可得:
,∴,∴.(3)取,知选().
例2.已知函数,
求证:
(1)函数在上为增函数;
(2)方程没有负数根.
(1)设,
则
,
∵,∴,,,
∴;
∵,且,∴,∴,
∴,即,∴函数在上为增函数;
(2)假设是方程的负数根,且,则,
即,①
当时,,∴,∴,而由知,
∴①式不成立;
当时,,∴,∴,而,
∴①式不成立.
综上所述,方程没有负数根.
例3.已知函数(且).
(1)函数的图象在轴的一侧;
(2)函数图象上任意两点连线的斜率都大于.
(1)由得:
∴当时,,即函数的定义域为,此时函数的图象在轴的右侧;
当时,,即函数的定义域为,此时函数的图象在轴的左侧.
∴函数的图象在轴的一侧;
(2)设、是函数图象上任意两点,且,则直线的斜率,
当时,由
(1)知,∴,∴,
∴,∴,又,∴;
∴,∴,又,∴.
∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于.
同步练习
(二)同步练习:
1、已知函数的定义域为,求函数的定义域。
答案:
2、已知函数的定义域为,求的定义域。
3、已知函数的定义域为,求的定义域。
4、设,则的定义域为()
A.B.
C.D.
选C.由得,的定义域为。
故,解得。
故的定义域为
5、已知函数的定义域为,求的定义域。
[解析]由已知,有
(1)当时,定义域为;
(2)当,即时,有,
定义域为;
(3)当,即时,有,
定义域为.
故当时,定义域为;
当时,定义域为
[点评]对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。
练习二
(5)同步练习:
1.函数y=(x2-3x+2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞)
C.(-∞,) D.(,+∞)
先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
B
2找出下列函数的单调区间.
(1);
(2)
(1)在上是增函数,在上是减函数。
(2)单调增区间是,减区间是。
3、讨论的单调性。
时为增函数,时,为增函数。
4.求函数y=(x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
由(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x∈(-∞,1)∪(4,+∞),{|=x2-5x+4}=R+,所以函数的值域是R+.因为函数y=(x2-5x+4)是由y=(x)与(x)=x2-5x+4复合而成,函数y=(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)=x2-5x+4在(-∞,)上为减函数,在[,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y=(x)为减函数、(x)=x2-5x+4也为减函数的区间,即(-∞,1);
y=(x2-5x+4)的减区间是定义域内使y=(x)为减函数、(x)=x2-5x+4为增函数的区间,即(4,+∞).
变式练习
一、选择题
1.函数f(x)=的定义域是( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2) D.
解析:
要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,
所以解得1<x≤2.
答案:
D
2.函数y=(x2-3x+2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞)
C.(-∞,) D.(,+∞)
3.若2(x-2y)=x+y,则的值为( )
A.4 B.1或
C.1或4 D.
错解:
由2(x-2y)=x+y,得(x-2y)2=xy,解得x=4y或x=y,则有=或=1.
选B
正解:
上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.
4.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围为( )
A.(0,) B.(0,1)
C.(,+∞) D.(0,+∞)
因为x∈(-1,0),所以x+1∈(0,1).当f(x)>0时,根据图象只有0<2a<l,解得0<a<(根据本节思维过程中第四条提到的性质).
A
5.函数y=(-1)的图象关于( )
A.y轴对称 B.x轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
y=(-1)=,所以为奇函数.形如y=或y=的函数都为奇函数.
C
二、填空题
已知y=(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是__________.
a>0且a≠1(x)=2-ax是减函数,要使y=(2-ax)是减函数,则a>1,又2-ax>0a<(0<x<1)a<2,所以a∈(1,2).
a∈(1,2)
7.函数f(x)的图象与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,则f(2x-x2)的单调递减区间为______.
因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=x
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