六年级下册奥数 含真题Word下载.docx
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20=80(台),提高后的工效:
80×
(1+25%)=100(台).时间有原计划的天数,又有提高效率后的天数,因此列出方程的等量关系是:
提高后的工效x所需的天数=剩下台数.
例3有一项工程,由甲单独做,需12天完成,丙单独做需20天完成.甲、乙、丙合作,需5天完成.如果这项工程由乙单独做,需几天完成?
工作总量.
例4中关村中学数学邀请赛中,中关村一、二、三小六年级大约有380~450人参赛.比赛结果全体学生的平均分为76分,男、女生平均分数分别为79分、71分.求男、女生至少各有多少人参赛?
分析若把男、女生人数分别设为x人和y人.依题意全体学生的平均分为76分,男、女生平均分数分别为79分、71分,可以确定等量关系:
男生平均分数×
男生人数+女生平均分数×
女生人数=(男生人数+女生人数)×
总平均分数.解方程后可以确定男、女生人数的比,再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数,从而使问题得解.
例5瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克.现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精,瓶子里的酒精浓度变为14%.已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍,求A种酒精的浓度.
分析依题意,A种酒精浓度是B种酒精的2倍.设B种酒精浓度为x%,则A种酒精浓度为2x%.A种酒精溶液10O克,因此100×
2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数.B种酒精溶液40O克,因此400×
x%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数.
例6有人用车把米从甲地运到乙地,装米的重车日行50里,空车日行70里,5日往返三次.问两地相距多少里?
(选自《九章算术》)
分析当你用算术法解这道题时会感到比较困难.但用方程解这一算术“难题”就容易多了.列方程解应用题的关键在于确定等量关系,确立等量关系还有一种常用的方法叫译式法,即把日常用语译成代数语言,通过列表可以看出列方程的过程.
例8兄弟二人三年后的年龄和是26岁,弟弟今年的年龄恰好是兄弟二人年龄差的2倍.问,3年后兄弟二人各几岁?
分析设3年后哥哥年龄为x岁,弟弟年龄为(26-x)岁.则今年哥哥年龄为(x-3)岁,弟弟年龄为(26-x-3)岁,兄弟二人的年龄差是(x-3)-(26-x-3)岁.列方程的等量关系是:
弟弟今年的年龄=兄弟二人年龄差的2倍.
习题一
1.某工厂三个车间共有180人,第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人,第三车间人数是第一车间人数的一半少1人.三个车间各有多少人?
克?
3.25支铅笔分给甲、乙、丙三人.乙分到的比甲的一半多3支,丙分到的比乙的一半多3支.问:
甲、乙、丙三人各分到几支铅笔?
4.甲、乙共有图书63册,乙、丙共有图书77册.三人中图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍.问:
甲、乙、丙三人各有图书多少册?
5.体育用品商店购进50个足球、40个篮球,共3000元.零售时足球加价9%,篮球加价11%,全部卖出后获利润298元.问:
每个足球、篮球进价各多少元?
6.王虎用1元钱买了油菜籽、西红柿籽和萝卜籽共100包.油菜籽3分钱一包,西红柿籽4分钱一包,萝卜籽1分钱7包.问王虎买进油菜籽、西红柿籽和萝卜籽各多少包?
第二讲关于取整计算
在数学计算中,有时会略去某些量的小数部分,而只需求它的整数部分.比如,用5米长的花布做上衣,已知每件上衣需用布2米,求这块布料
们收水费时,为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数,而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收.所以数学上引进了符号〔〕,使我们的表述简明.
[a]表示不超过a的最大整数,称为a的整数部分.
[a]显然有以下性质:
①[a]是整数;
②[x]≤x;
③x<[x]+1;
④若b≥1,则[a+b]>〔a〕;
若b≤1,则〔a+b〕≤[a]+1.
请你自己举些例子验证前三条性质.
性质④举例:
a取2.7,则〔a〕=2.
若b=1.1,那么〔a+b〕=〔2.7+1.1〕=3>
2=〔a〕.
若b=0.5,那么[a+b]=[2.7+0.5]=〔3.2〕=3=〔a〕+1;
若b=0.1,那么[a+b]=〔2.8〕=2<
〔a〕+1.
〔a〕还有许多性质.例:
若n是整数,则有:
〔a+n〕=〔a〕+n.
与〔a〕相关的是数a的小数部分,我们用符号{a}表示.
显然,a=〔a〕+{a},而且0≤{a}<1.
下面我们应用取整符号〔〕解题.
例1判断正误:
若2x+3〔x〕=1.则{x}=0.
例2求1~1993中可被2或3或5整除的整数的个数.
例4求满足方程〔x〕+[2x〕=19的x的值.
分析解这道题的关键是由x=〔x〕+{x}求2x的整数部分和小数部分.
例5问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数?
例6设A=100!
=12n·
M,其中M、n均是自然数.则n最大取多少?
习题二
1.在1~10000这一万个自然数中,有多少个数能够被5或7整除?
求:
S=?
3.求满足方程〔x〕+[2x]=18的x的值.
4.k是自然数,且
第三讲最短路线问题
通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中,直线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.
在本讲所举的例中,如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内,那么所求的最短路线是线段;
如果它们位于凸多面体的不同平面上,而允许走的路程限于凸多面体表面,那么所求的最短路线是折线段;
如果它们位于圆柱和圆锥面上,那么所求的最短路线是曲线段;
但允许上述哪种情况,它们都有一个共同点:
当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时,例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等,将它们展开在一个平面上,两点间的最短路线则是连结两点的直线段.
这里还想指出的是,我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如,在地球(近似看成圆球)上A、B二点之间的最短路线如何求呢?
我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球,在地球表面留下的截痕为圆周(称大圆),在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线,航海上叫短程线.关于这个问题本讲不做研究,以后中学会详讲.
在求最短路线时,一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题,而两点之间直线段最短,从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题,再设法解决,是数学中一种常用的重要思想方法.
例1如下图,侦察员骑马从A地出发,去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马,如果途中没有重要障碍物,那么侦察员选择怎样的路线最节省时间,请你在图中标出来.
解:
要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.
作点A关于河岸的对称点A′,即作AA′垂直于河岸,与河岸交于点C,且使AC=A′C,连接A′B交河岸于一点P,这时P点就是饮马的最好位置,连接PA,此时PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.
证明:
设河岸上还有异于P点的另一点P′,连接P′A,P′B,P′A′.
∵P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB,而这里不等式P′A′+P′B>A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段,所以PA+PB是最短路线.
此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B,所以这种方法也叫做化直法,其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.
例2如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点,爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾,它可以沿许多路径到达,但哪一条是最近的路线呢?
我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°
(如下页右图),使它和含A点的墙α处在同一平面上,此时β转过来的位置记为β′,B点的位置记为B′,则A、B′之间最短路线应该是线段AB′,设这条线段与墙棱线交于一点P,那么,折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线.
在墙棱上任取异于P点的P′点,若沿折线AP′B走,也就是沿在墙转90°
后的路线AP′B′走都比直线段APB′长,所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线.
由此例可以推广到一般性的结论:
想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时,可以把不同平面转成同一平面,此时,把处在同一平面上的两点连起来,所得到的线段还原到原始的两相邻平面上,这条线段所构成的折线,就是所求的最短路线.
例3长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,A′A=2′,AD=1,有一只小虫从顶点D′出发,沿长方体表面爬到B点,问这只小虫怎样爬距离最短?
(见图
(1))
因为小虫是在长方体的表面上爬行的,所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上,在这个“展开”后的平面上D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段,这样,从D′点出发,到B点共有六条路线供选择.
①从D′点出发,经过上底面然后进入前侧面到达B点,将这两个面摊开在一个平面上(上页图
(2)),这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段,它是直角三角形ABD′的斜边,根据勾股定理,
D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25,∴D′B=5.
②容易知道,从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.
③从D′点出发,经过左侧面,然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平面上,同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线(上页图(3)),有:
D′B2=22+(1+4)2=29.
④容易知道,从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29.
⑤从D′点出发,经过左侧面,然后进入下底面到达B点,将这两个平面摊开在同一平面上,同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线(见图),
D′B2=(2+4)2+12=37.
⑥容易知道,从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37.
比较六条路线,显然情形①、②中的路线最短,所以小虫从D′点出发,经过上底面然后进入前侧面到达B点(上页图
(2)),或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线,它的长度是5个单位长度.
利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法,可以解决一些类似的问题,例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题(下左图),同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面(下右图),连接A、B成线段AP1P2B,P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点,则折线AP1P2B就是AB间的最短路线.
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