《2.1.1 曲线与方程》教学设计Word文档下载推荐.docx
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(2)难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用.
2.重难点
重点:
曲线的方程(方程的曲线)的概念
难点:
曲线的方程(方程的曲线)概念的生成和理解
-12-
3.突出重点、突破难点的策略
本节课的教学,根据“问题引导,任务驱动”的设计思路,遵循概念学习的规律,使学生在过程中感受数形结合,从特殊到一般,化归与转化的数学思想.具体表现在:
(1)用蕴含数学文化的广告创设情境,并将“章头图”、“章导言”融入其中,产生认知冲突,感悟学习曲线与方程的必要性;
(2)让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程,感知方程的变化带来曲线的变化,曲线的差异导致方程的差异,再通过“独立书写—交流讨论
—互动修正”生成概念;
(3)学生自主举例,辨析概念,联系已学知识,完成对概念的“结构化”.
四、教学支持条件分析
1.学情分析
本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生,数学基础扎实,思维较活跃,具有较为丰富的探究活动经验,但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升.
2.教学策略与教法、学法
本课采取“探究—发现”教学模式.
教师的教法注重活动的安排和问题的引导,通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现,并归纳概括.
学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构.
教具:
多媒体PPT课件,平板电脑,三角板,彩色粉笔学具:
教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔
五、教学过程设计
结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节及时间分配如下:
教学内容 师生活动(预设) 设计说明
一、创设情景,引入概念
播放一段和笛卡尔的传说有关的广告视频.
师:
不知大家有没有看过下面这则广告?
生(齐):
(观看视频)
师:
其实,这则广告的创意源自于一位伟大数学家的爱情传说,大家知道他是谁吗?
生(齐):
笛卡尔.
是的.那你了解笛卡尔
优美的画面和音乐吸引学生注意力,富于文化的广告创意调动学生的积极性,暗藏其中的故事情节激发学生的思考和好奇心,情景创设为引
通过层层设问,将学生从视频逐步转移到对解析几何用代数方法研究直线、圆的回顾.
问题1:
诸如圆锥曲线这类曲线能否像直线、圆一样用代数的方法进行研究呢?
研究清楚曲线与方程之间的关系,将为我们用代数方法研究几何图形提供可能.
二、作图探究,形成概念
探究活动:
对数学的贡献吗?
生1:
他发明了直角坐标系,创立了解析几何.
解析几何研究几何图形的方法有何特点呢?
你能结合所学知识谈一谈吗?
生2:
我们在《必修2》中曾经学习了直线、圆与方程,在直角坐标系中用方程表示直线、圆,然后使用代数的方法对他们进行研究.
大千世界,千奇百态!
直线,圆都只是其中的一种曲线
(直线也可称之为特殊的曲线),生活中我们还会遇到很多其他的曲线,比如下面动画中的截口曲线.
(教师通过PPT展示截口曲线生成动画)
在这个动画中,你观察到哪些曲线?
椭圆,抛物线,双曲线.
是的,它们统称为圆锥曲线.公元前,古希腊数学家阿波罗尼在他的《圆锥曲线》一书中便记载了他对圆锥曲线的几何性质的研究,后来一千多年里人类对其的认识止步于此.当时,这些研究都是用的纯几何的方法,那么诸如圆锥曲线之类的曲线能否像直线、圆一样用代数的方法来研究呢?
可以.
怎样展开对圆锥曲线的研究呢?
在坐标系中找到圆锥曲线的方程.
那就让我们先来研究曲线与方程之间的关系吧!
请大家按照要求作图.师:
请你说说你的作图过程.
入概念铺垫了良好的氛围.
通过“问题引导”将学生从视频,转到解析几何研究问题的方法上来,再延伸到其他曲线(如圆锥曲线)的研究方法上来,形成认知冲突,让曲线与方程的学习满足合理性和必要性.
通过情景创设浸润数学文化教育,同时回顾了学生已有相关知识和方法,链接了本章章导言和章头图,形成了学生学习上的认知冲突,自然引出本课主题.
探究活动的素材较好地
请分别作出以下列方程的
生3:
先化简为y
2x,它表
起到了“先行组织者”的作用.
解为坐标的点构成的图形:
示直线,取出直线上两点
1.yx
2 2 0;
1
(0,0),(1,2),连线作出这条直线.
有不同意见吗?
生4:
应该去掉直线上的点
(1,2)才对.
为什么呢?
问题2:
两位同学作出的图 生4:
因为点(1,2)的坐标不满
形之间的差异是什么原因引起的?
足方程y
x
2 2 0.
好!
你关注到了点的坐标,那么点(1,2)的坐标和方程
y 2x是什么关系?
这个坐
标和方程y
2 2 0是什么
关系呢?
点(1,2)的坐标是方程
问题3:
改变图形,图形上点的坐标满足的关系会发生变化吗?
请你对刚才的曲线与方程之间的关系做一个总结.
y2x的解;
不是方程
y220的解.
x1
(学生回答,教师板书)
刚才两位同学的图形不一样是什么原因造成的?
方程.
方程的区别在哪里?
方程的解.
那么如果我将这支曲线擦除部分,新得到的曲线上的点又满足怎样的关系式呢?
(教师在黑板上将点(1,2)左下方下方抹去)
学生已具有识别直线方
程、圆的方程的知识基础.在此认知基础上,通过引导学生作图、观察、分析已有两个事例,感受和体会从特殊到一般,数形结合的思想方法.
y
2x(x 1)
通过教师的引导让学生
改变图形,方程发生了怎样的变化.
范围改变.
你根据刚才的探究进行总结.
生5:
方程改变,曲线也在改变.
大家做得非常好!
接下来请完成第二个方程.
(学生独立完成,时间2分钟
感知方程的不同导致曲线的不同,教师再适时地改编曲线,导致方程的不同.让学生多角度体验曲线与方程之间的关系.
左右)
2.x
1 y20.
请看这位同学的图形,正确吗?
为什么?
生6:
不正确,因为圆的左半部分不符合要求
什么原因导致产生了两个不同的图形呢?
x的取值范围,方程的
圆的方程的学习使得学生在独立完成作图有了基础,但是对于方程的变化没有保证同解导致的曲线差异这一现象的本质,学生上不太明白,教师引导学生继续感知曲线与方程之间的关系.
问题4:
为什么你作出来的
图形是一个半圆?
引起作出图形有差异的原因是什么?
解.
方程的解的不同直接导致曲线的不同.
教师适当小结,请学生根据自己感受书写曲线与方程(方程与曲线)的概念.
曲线的方程(方程的曲线)的概念:
(指着黑板说)如果曲线与方程满足类似的对应关系,我们就称曲线是方程的曲线,这个方程就是曲线的方程.你能归纳出曲线的方程
(方程的曲线)这一概念的要点吗?
请把它写在草稿本上.生:
(先独立书写,再小组讨论归纳2-3分钟.)
请说一说你对曲线的方程
(方程的曲线)下的定义.
概念属性的归纳——在两则事例的基础上进行属性的分析、比较、综合,归纳不同例证的共同特征.引导学生通过刚才对具体事例观察、分析,抽象概括共同的本质属性,归纳得出数学概念.
一般地,在直角坐标系中,生7:
我认为要满足曲线的方 用代数、几何的语言刻画
如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y) 0的实数解
建立了如下的关系:
⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,
那么,这个方程叫做曲线的方程;
这条曲线叫做方程的曲线(图形)
问题5:
结合今天所学知识,你是如何认识直线的方程,圆的方程这两个已学概念?
程(方程的曲线),必须满足以下两条:
1.曲线上的点的坐标都是方程的解;
2.以方程的解为坐标的点都在曲线上.
很准确!
(板书学生所述内容,并作适当规范)
你能举例说明为什么要用两个限制条件呢?
可以缺某一个吗?
生8(:
预设学生会在刚刚的例子中选择)
能举一个不满足第二个限制条件的例子吗?
生9(:
直线的方程,圆的方程这些概念用今天所学知识该如
和表达一种数学现象,是数学学习的基本任务.
概念的明确与表示——下定义,给出准确的数学语言描述;
对概念的辨析,通过学生举反例来达成对概念的深入理解.
概念的“结构化”,对概念生成并做了适当辨析和理解后,需要将概念与以前的学习进行联系.
何理解?
生10:
我认为直线的方程,圆的方程的概念和曲线的方程这一概念是一致的,直线也算特殊的曲线,圆也算曲线的一种.
是的.你能举例说明吗?
生 10:
比如说“直线
x2y1
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