第十三章三角形外心的性质及应用Word格式文档下载.docx
- 文档编号:12999025
- 上传时间:2022-10-02
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:209.94KB
第十三章三角形外心的性质及应用Word格式文档下载.docx
《第十三章三角形外心的性质及应用Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第十三章三角形外心的性质及应用Word格式文档下载.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
d1
O
d2
A
B O1 C
图13-1
设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r.由于O为外心,则O1,O2,O3分别为三边中点,于
是,上式变为R×
1a=1c×
d
2 2 2
+1b×
d2 3
,即Ra=cd
2+bd3.
同理,有Rb=ad3+cd1,Rc=bd1+ad2.
三式相加,得R(a+b+c)=d1(b+c)+d2(c+a)+d3(a+b). ①另一方面,由S△ABC=S△OBC+S△OCA+S△OAB,
有r(a+b+c)=ad1+bd2+cd3. ②
②+①式,即得R+r=d1+d2+d3.
如图13
2,对于钝角△ABC,字母所设同图13
1,则OO3=-d3(d3为负值).在四边形O3O2AO中应用托勒密定理,有AO3×
OO2=OO3×
AO2+AO×
O3O2,即
d3 d2
O3 O2
图13-2
cd2=-bd2+Ra,即Ra=cd2+bd3.
以下均同锐角的情况(略).故d1+d2+d3=R+r.
1×
2×
2R×
sinÐ
A×
B×
C
注若由r=
2S△ =2a+b+c
2R(sinÐ
A+sinÐ
B+sinÐ
C)
=4R×
C,则有
d+d+d=Ræ
cosÐ
BOC+cosÐ
AOC+cosÐ
AOBö
=R(cosÐ
A+cosÐ
B+cosÐ
C)=Ræ
1+4sinÐ
Cö
1 2 3
ç
2 2 2 ÷
ç
2 2 2÷
è
ø
è
=Ræ
1+rö
=R+r,即证.
ç
R÷
性质7过△ABC的外心O任作一直线与边AB,AC(或其延长线)分别相交于P,Q两点,则
AB×
sin2Ð
B+AC×
C=sin2Ð
A+sin2Ð
B+sin2Ð
C,AP AQ
或BP×
B+CQ×
A.AP AQ
证明如图13
3,延长AO交BC于M,交外接圆于K,延长CO交AB于F,则
F
P
Q
B
M
K
BM=S△ABM
图13-3
( )
AM×
C×
sin90°
-Ð
AKB sin2Ð
= = .
MC S△ACM
AM×
sin(90°
AKC) sin2Ð
同理,AF=sin2Ð
B.
FB
对△ABM
sin2Ð
及截线FOC应用梅勒劳斯定理,得AF×
BC×
MO=1
FBCM OA
而BC=BM+MC=sin2Ð
C,
MC MC
于是MO=MC×
BF=
OA BC FA
Bsin2Ð
sin2Ð
从而AO=
AO =
AM AO+OM sin2Ð
又S△APO=
AP×
AO,S△ABM
=BM=
C ,
S△ABM
AB×
AM
S△ABC
BC sin2Ð
S△AQO=
AQ×
AO,S△ACM
=MC=
B .
S△ACM
AC×
由
AP×
AQ=S△APQ=S△APO×
S△ABM+S△AQO×
S△ACM=
AO×
C +
AQ×
AC S△ABC
S△ABM
S△ACM
C AC×
,即证得结论.
【典型例题与基本方法】
例1如图13
4,在△ABC中,O是△ABC的外心,I是其内心,若Ð
BOC=Ð
BIC,求Ð
I
B C
图13-4
解因I为其内心,则
Ð
IBC+Ð
ICB=1Ð
B+Ð
C=90°
-1Ð
A,
2 2
故Ð
BIC=90°
+1Ð
2
又O是其外心,有Ð
BCO=2Ð
A,从而
90°
A=2Ð
A,即Ð
A=60°
为所求.
注若O,I为△ABC的外心,内心,且Ð
,则有Ð
BIC,且B,C,I,O共圆,这亦可以视为三角形外心(或内心)的一条特殊性质.
例2如图13
5,在等腰△ABC中,AB=BC,CD是它的角平分线,O是它的外心,过O作CD的垂线交BC于E,再过E作CD的平行线交AB于F.证明:
BE=FD.(第22届俄罗斯奥林匹克决赛题)
E
FG
D
M N
图13-5
证明延长CD交□O于N,作直线EN交□O于M,交AB于G.由OE垂直平分弦CN,知
MNC=Ð
ECN=Ð
NC,A即有MN∥AC.
又Ð
OEC=Ð
OEN,即知弦BC和MN关于直线OE对称,从而有BE=ME.
又直线OB为△ABC和直线MN的公共对称轴,知BE=BG,ME=GN,从而BE=GN.欲证BF=DF,须证BG=DF,即BF=DG.由EF∥CN,且EF平分Ð
BEG,故
BF=BE=GN=DG,于是BF=DG,由此即证得结论.
FGEGEGFG
注此例利用内心性质,可另证如下:
6,作BO^AC于H,则BO与CD交于内心I.又令OE^CD于G,则G,O,H,C四点共圆,于是Ð
GOH=Ð
DCH=Ð
BCD.从而O,I,E,C四点共圆,故Ð
OBC=Ð
OCB=Ð
BIE,即IE=BE.又Ð
IEC=2Ð
ABC,有IE∥BD.
G
C H A
图13-6
又EF∥ID,即四边形IDFE为平行四边形,故
DF=IE=BE.
例3如图13
7,设AD是△ABC的Ð
BAC的平分线,O是△ABC外接圆的圆心,O1是△ABD的外接圆的圆心,O2是△ADC的外接圆圆心.求证:
OO1=OO2.
A
'
O1
EO
O2F
图13-7
(1990年全国高中联赛题)
证明设OO1,OO2(或其延长线)分别交AB,AC于E,F,则易证A,E,O,F四点共圆.
连O1O2,O1A,O1D,O2A,O2D,则O1O2垂直平分AD,故有
AO1O2=Ð
ABC,Ð
AO2O1=Ð
ACB.于是△AO1O2∽△ABC.
连O1B,O2C,必有△AO1B∽△AO2C,故Ð
ABO1=Ð
ACO2.从而延长BO1,CO2必交□O于一点A¢
,显然Ð
BA¢
C=Ð
BAC,注意到Ð
BAC+Ð
O1OO2=180°
,知A¢
,O1,O,O2,四点共圆.
又AD平分Ð
BAC,即Ð
BAD=Ð
DAC
,从而Ð
BO1D=Ð
DO2C,故Ð
O1BD=Ð
O2CD,即△A¢
BC为等
腰三角形,连A¢
O并延长交BC于M,易证A¢
M垂直平分BC,Ð
O1A¢
O=Ð
O2A¢
O,故O1O=OO2.
注注意到连心线与公共弦垂直,则有如下简捷证法:
设O1O2^AD于K,由A,K,O2,F四点共圆,
有Ð
OOO=Ð
KAF=1Ð
A;
由A,K,E,O四点共圆,有Ð
EAK=1Ð
A,故△OOO为
12 2
1 21
2 1 2
等腰三角形,从而有OO1=OO2.
例4如图13
8,设△ABC的外心为O,若O关于BC,CA,AB的对称点分别为A¢
,B¢
,C¢
,求证:
(1)从AA¢
,B
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第十三 三角形 外心 性质 应用