第十三章三角形外心的性质及应用1Word文档格式.docx

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O3

O2

d2

d3

d1

O

B

O1

图13-1

C

设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r．由于O为外心，则O1，O2，O3分别为三边中点，于

是，上式变为R×

1a=1c×

d

+1b×

d，即Ra=cd+bd．

2

3

2 3

2 2

同理，有Rb=ad3+cd1，Rc=bd1+ad2．

三式相加，得R（a+b+c）=d1（b+c）+d2（c+a）+d3（a+b）．

①

另一方面，由S△ABC=S△OBC+S△OCA+S△OAB，

有r（a+b+c）=ad1+bd2+cd3．

②

②+①式，即得R+r=d1+d2+d3．

如图13­

2，对于钝角△ABC，字母所设同图13­

1，则OO3=-d3（d3为负值）．在四边形O3O2AO中应

用托勒密定理，有AO3×

OO2=OO3×

AO2+AO×

O3O2，即

图13-2

cd2=-bd2+Ra，即Ra=cd2+bd3．

以下均同锐角的情况（略）．故d1+d2+d3=R+r．

1×

2×

2R×

sinÐ

A×

B×

2S△

a+b+c

=4R×

C，则有

注若由r=

=

2R（sinÐ

A+sinÐ

B+sinÐ

C）

d+d+d=Ræ

cosÐ

BOC+cosÐ

AOC+cosÐ

AOBö

=R（cosÐ

A+cosÐ

B+cosÐ

C）=Ræ

1+4sinÐ

Cö

ç

÷

1 2 3

è

ø

rö

=R+r，即证．

=Ræ

1+

R÷

ø

性质 过△ABC的外心O任作一直线与边AB，AC（或其延长线）分别相交于P，Q两点，则

7

AB×

sin2Ð

B+AC×

C=sin2Ð

A+sin2Ð

B+sin2Ð

C，

AP

AQ

或BP×

B+CQ×

证明如图13­

3，延长AO交BC于M，交外接圆于K，延长CO交AB于F，则

FP

Q

M

K

图13-3

AM×

C×

sin（90°

-Ð

AKB）=sin2Ð

C．

BMMC

S

=△ABM

AKC） sin2Ð

S△ACM

同理，AF

=sin2Ð

B．

FB sin2Ð

对△ABM及截线FOC应用梅勒劳斯定理，得AF×

BC×

MO=1

FBCM OA

BC=BM+MC=sin2Ð

而

MC

sin2Ð

于是MO=MC×

BF

OA BC FA sin2Ð

AO

从而

AM AO+OM sin2Ð

又S△APO

S△ABM

，S△ABM

S△ABC

AP×

AOAB×

AM

=BM

，

BC sin2Ð

S△AQO

，S△ACM

AQ×

AOAC×

=MC

．

由

AQ=S△APQ

S△AQOS

+×

△ACM

S△APO×

S△ABM

AO×

+

AC

S△ABC S△ABM S△ABC S△ACM S△ABC

AMsin2Ð

C AC×

AMsin2Ð

，即证得结论．

【典型例题与基本方法】

例1如图13­

4，在△ABC中，O是△ABC的外心，I是其内心，若Ð

BOC=Ð

BIC，求Ð

I

图13-4

解因I为其内心，则

Ð

IBC+Ð

ICB=1

1

2（

B+Ð

C）= °

-2Ð

90

A，

故Ð

BIC 90

= °

+2Ð

又O是其外心，有Ð

BCO=2Ð

A，从而

A，即Ð

A=60°

为所求．

°

=

A 2

注若O，I为△ABC的外心，内心，且Ð

，则有Ð

BIC，且B，C，I，O共圆，这亦可以视为三角形外心（或内心）的一条特殊性质．

例2如图13­

5，在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂

线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F．证明：

BE=FD．（第22届俄罗斯奥林匹克决赛题）

FG

E

N

D

图13-5

证明延长CD交O于N，作直线EN交O

MNC=Ð

ECN=Ð

NC，A即有MN∥AC．

于M，交AB于G

．由OE垂直平分弦CN，知

又Ð

OEC=Ð

OEN

，即知弦BC和MN关于直线OE对称，从而有BE=ME．

又直线OB为△ABC和直线MN的公共对称轴，知BE=BG，ME=GN，从而BE=GN．

欲证BF=DF，须证BG=DF，即BF

=DG．由EF∥CN，且EF平分Ð

BEG，故

BF

BE=GN

=DG，于是BF

=DG，由此即证得结论．

FG EG EG FG

注此例利用内心性质，可另证如下：

6，作BO^AC于H，则BO与CD交于内心I．又令OE^CD于G，则G，O，H，C四点

共圆，于是Ð

GOH

=Ð

DCH

BCD．从而O，I，E，C四点共圆，故Ð

OBC=Ð

OCB=Ð

BIE，即

IE=BE．又Ð

IEC=2Ð

ABC

，有IE∥BD．

F

G

H

图13-6

又EF∥ID，即四边形IDFE为平行四边形，故

DF=IE=BE．

例3如图13­

7，设AD是△ABC的Ð

BAC的平分线，O是△ABC外接圆的圆心，O1是△ABD的外接

圆的圆心，O2是△ADC的外接圆圆心．求证：

OO1=OO2．

A 

'

O2F

EO

图13-7

（1990年全国高中联赛题）

证明设OO1，OO2（或其延长线）分别交AB，AC于E，F，则易证A，E，O，F四点共

圆．

连O1O2，O1A，O1D，O2A，O2D，则O1O2垂直平分AD，故有

AO1O2=Ð

ABC，Ð

AO2O1=Ð

ACB．

于是△AO1O2∽△ABC．

连O1B，O2C，必有△AO1B∽△AO2C，故Ð

ABO1=Ð

ACO2．从而延长BO1，CO2必交O于一点A¢

，

显然Ð

BA¢

C=Ð

BAC

，注意到Ð

BAC+Ð

O1OO2=180°

，知A¢

，O1，O，O2，四点共圆．

又AD平分Ð

BAC，即Ð

BAD

DAC

，从而Ð

BO1D=Ð

DO2C，故Ð

O1BD=Ð

O2CD，即△A¢

BC为等

腰三角形，连A¢

O并延长交BC于M，易证A¢

M垂直平分BC，Ð

O1A¢

O=Ð

O2A¢

O，故O1O=OO2．

注注意到连心线与公共弦垂直，则有如下简捷证法：

设O1O2^AD于K，由A，K，O2，F四点共圆，

有Ð

OOO=Ð

KAF

=2Ð

A；

由A，K，E，O四点共圆，有Ð

EAK=2Ð

A，故△OOO为

12

21

1 2

等腰三角形，从而有OO1=OO2．

例4如图13­

8，设△ABC的外心为O，若O关于BC，CA，AB的对称点分别为A¢

，B¢

，C¢

，求证：

（1）从AA¢

，BB¢

，CC¢

交于一点；

（2）若BC，CA，AB的中点分别为A1，B1，C1，则P为△A1B1C1的外心．

C'

B 

A1

图13-8

证明

（1）由四边形OBA¢

C的对角线互相平分，知

A¢

C∥BO