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定义2[1]函数在开区间上连续,在点右连续,在点左连续,我们就称函数是闭区间上的连续函数.
2.1有界性的定理及证明
定理1[2]若函数在闭区间连续,则函数在闭区间上有界.即存在,
由闭区间上连续函数的定义可知,闭区间上连续函数是封闭的连续不断的曲线,在开区间上的函数在端点是可以无限延伸的.函数在某点有极限,则就在某点有界,根据有限覆盖定理,就很容易知道函数在定义域上是有界的.
证明:
任取,因为在处连续,故存在,使得
区间族组成闭区间的一个开覆盖,因此存在有限子覆盖,记为
.
令.任取,设,则
这说明是有界的[3].
如果上述条件改为开区间、半开半闭区间、无穷区间,有限覆盖定理的条件不充分,则函数不一定是有界函数[4].
2.2最值性及证明
定理2[5]设函数在闭区间上连续,则在函数上必有最大(小)值,即是说存在,使得对于任意,有,,则,就是函数的最大值及最小值.
由定理1知道,闭区间上的连续函数存在上、下界,由确界原理知,在这里只需要证明函数能取得上、下确界的值.
证明:
设为的上确界,存在,使得,否则有,对一切都有,令
,
即有,在上连续,故在有上界,设是的一个上界,则
从而推出
这与为,的上确界矛盾,故必存在,使,即在有最大值,同理可证在上有最小值[5].
2.3零点定理及证明
定理3[6]若在上连续,,异号,则在至少有一点,使,则就称为函数的零点.
函数是连续函数,且不妨设在函数曲线的上半轴,在函数曲线上的下半轴,如下图所示则函数肯定与轴至少有一个交点.
不妨设,,取,如果,则定理得证,如果,则必与之一异号.记异号的区间为.继之得一列区间满足:
(1);
(2);
(3).
由条件
(1),
(2)知,为闭区间套,所以,使得,且
由知,由知,所以.定理得证[7].
2.4介值定理及证明
定理4[8]设在上连续,,且,则对与之间的任意数,至少有一点,使.
由定义可以看出介值定理和零点定理有一定的相同点,这里利用零点定理可以直接推出介值定理,只需要在原函数加减一个常数.
设,则在上连续,且
所以,存在,使,即
所以[8].
2.5一致连续性的定理及证明
定义3[9]设函数在区间或开,或闭,或半开半闭内,满足对任意的,可找到只与有关而与内的点无关的,使得对内任意两点,当,总有,就称在内一致连续.
定义4[10]若存在常数,在定义域中对任意都有成立,则称在中满足Lipthitz条件.若在区间上满足Lipthitz条件,则在区间上必定一致连续.
定理5[11]若在上连续,则在上一致连续.
假设对某一大于0,不能将将区间分成有限多个小段,设区间二等分得两个区间,,则这两个区间至少有一个不能分为有限多个小段,记其为,再将区间二等分,依上述手续继续,得一序列区间,它满足:
(1)……,且任一区间都不能分为有限多个小段,使在其上任两点的函数值差小于.
(2)当时.
由区间套定理,存在唯一的一点,而在点连续,按连续的定义,有,使时,有,而,则可以取充分大的,使,那么对上的任意一点都有,因此对上任意两点都有
这表明能分为有限多个小段,使在每一小段上任两点的函数值之差小于,这与区间的定义矛盾,故定理得证[11].
3闭区间上连续函数的应用
闭区间上的连续函数的性质具有广泛的应用,利用其性质可以求极限、最值等等;
本文将重点举例说明闭区间上连续函数在数学分析中和实际问题中的应用.
例1证明若函数在区间上连续,且有有限的,则此函数在上是有界的.
令,取,则存在,使得当时,恒有,又因为在区间连续,由定理1可知,有界,即存在常数,当,恒有,取,则,当,恒有
例2求函数的连续区间,并求.
解:
函数的定义域为,函数的定义域为,由初等函数的连续性在区间连续,所以函数的定义域为,而,所以在处连续,因此,
例3证明方程在区间内至少有一根.
令,则在上连续,又有,,
由定理3知存在,使,即
所以,方程在内至少有一个根.
例4证明,至少有一不大于正根.
证明:
令,则有
;
又在闭区间上连续,由定理3知至少存在一点,使
若.
例5设在上连续,且,证明.
设,则在上连续,即的定义域为,且
若,则即为所求;
若,则,
由定理3知,,即,
总之,.
例6证明至少有一实根.
设,则
类似地可得,故存在,使,又存在,使.
因为在上连续,由定理3可知,至少存在一点,使,即至少有一个实根.
例7设在闭区间上连续,,则在中必有,使得
因为在闭区间上连续,由定理2可知,存在最大值与最小值,且
则有,
……
所以,
即
由定理4得,至少存在一点,使得
例8证明内一致连续.
取要使
得,取,于是对任意的,存在,使得对任何,只要,就有
即证.
例9证明上一致连续.
在上成立不等式
Lipthitz条件,从而在上一致连续;
又由题知在上连续,由定理5可得在上一致连续,即证一致连续.
例10如果一个登山者第一天上午6点从山脚开始登山,下午4点到达山顶,第二天上午6点从山顶原路下山,下午4点到达山脚.问该登山者在上下山的过程中会,会在同一时间经过同一地点吗?
并说明原因.
会.不妨设山高为,登山者第一天登山的高度为函数,第二天登山的高度为函数,则,在上连续,且,;
=0,设
则在上连续,且
由定理3可知存在一点,使得,即是会在同一时间经过同一地点.
例11越野比赛中,某运动员用40分钟工跑了8英里.证明:
一定存在某一时刻,在该时刻起的5分钟内,该运动员跑了1英里.
设为离开起跑线的英里数,,表示从跑到英里所用的时间,由定义2可知函数为闭区间上的连续函数,且有
由于,,,,,,,不可能全大于5,也不可能全小于5,
故若上式左端有一项等于5,则结论得证,否则在内存在点满足
则由定理4可知,存在,使得;
因此由英里到英里跑了5分钟.
4结论
通过以上性质的证明及其应用,可以发现闭区间上连续函数的性质不仅在数学分析中有着不容忽视的力量,而且在实际生活应用中也不可小觑.本人经过查阅资料,搜集大量题型,整理出闭区间上连续函数的性质及证明,并得出了以下结论:
要应用闭区间上连续函数的性质必须满足两个条件,一个是闭区间,另一个是连续函数,这两个条件缺一不可.由于本人的知识能力有限,所以总结的闭区间上连续函数的应用并不完整,还有待提高.
参考文献
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[11]李成章,黄玉民.数学分析上册[M].北京:
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Thepropertiesofcontinuousfunctionsonclosedintervalanditsapplication
ZhaoXinYue
Grade11,Class011,MajorMathematicseducation,InstituteofmathematicsandthecalculationscienceDept.,ShaanxiUniversityofTechnology,Hanzhong72300x,Shaanxi)
Tutor:
MaYinDi
Abstract:
Therearesomebasicpropertiesofcontinuousfunctionsonclosedinterval,Namely:
theboundedness,themostvalue,zero,inter
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