高中数学《导数的概念》公开课优秀教学设计Word格式.docx
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1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中,学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义,掌握了变化率,在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度,因此,学生已经具备了一定的认知基础,他们不会对新知识感到无所适从.
2.可能存在的问题:
(1)“逼近”的思想对于学生而言,还是比较陌生,需要精心设计教学活动,比如借助物理知识等,激发学生的兴趣,从学生已有的知识背景出发,帮助学生经历从平均速度到瞬时速度,从平均变化率到瞬时变化率的过渡.
(2)使学生能通过观察发现:
运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时,逐渐趋于一个不变的常数,而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象,同时数值逼近的运算繁琐,但又不能采取简单的方式告知学生,而是要学生通过实际的计算,在计算过程中,充分感知当趋于时,趋于一个定值;
当趋于时,趋于一个定值.(3)在实际教学中,学生需要用到思想方法和表达形式的迁移,即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡,从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达,这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.
因此,如何引导学生根据生活中具体的实例,结合已有的知识经验,通过“逼近”的方法,由特殊到一般,用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点.
四、教学策略分析
根据学生情况,为了完成本节课的教学目标,突破教学重难点,主要采取教师问题引导,学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有:
1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发,历经平均速度到瞬时速度的过渡,再把物体的运动变化量抽象为一般的函数,从而得到瞬时变化率的概念.
2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道是的瞬时速度以后,直观地理解运动员在任意时刻的瞬时速度.同样,在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后,可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率.
3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”.
4.利用计算器进行分组合作,取不同的,,计算以及的值.
预计时间
教学内容
教师活动
学生活动
教学评价
15分钟
1
回顾复习
实例研究
讲授:
上节课我们通过气球膨胀率、高台跳水的实例,建立起了平均变化率的概念.也请大家计算了高台跳水运动员在这段时间里的平均速度.
经过计算,大家发现运动员在这段时间里的平均速度是0.难道说运动员在这段时间是静止的?
显然,运动员在这段时间里不是静止的.由此可见,用平均速度描述运动员的运动状态是有一定的局限性.所以我们说“平均速度”只能粗略地描述运动员的运动状态.还有一种速度,它能更精确地刻画运动员在每个时刻的运动状态,我们称之为:
瞬时速度.
那如何求运动员的瞬时速度呢?
比如,高台跳水运动员在时的瞬时速度是多少呢?
大家有没有好的想法?
我们来看物理中测瞬时速度的小视频.
问:
观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理是什么?
这里所得的真是瞬时速度吗?
为什么?
.
对,也就是我们很难测量到真正的瞬时速度,我们测量到的是千分之一,万分之一秒,以致更短时间间隔内的平均速度.那如何使得平均速度更接近瞬时速度呢?
对.那如果我们想求高台跳水运动员在时的瞬时速度,就考察附近的情况,在之前或者之后,任意取一个时刻.可以是正直,也可以是负值,但不为当取不同值时,计算平均速度.
我们先看运动员在内的平均速度.请看表格:
[2+Δt,2]
Δt<
平均速度
[1.9,2]
-0.1
-13.051
[1.99,2]
-0.01
-13.0951
[1.999,2]
-0.001
-13.09951
[1.9999,2]
-0.0001
-13.099951
[1.99999,2]
-0.00001
-13.0999951
[1.999999,2]
-0.000001
-13.09999951
[1.9999999,2]
-0.0000001
-13.09999995
大家发现了什么特点?
再看运动员在内在的平均速度.请看表格:
[2,2+Δt]
Δt>
[2,2.1]
0.1
-13.149
[2,2.01]
0.01
-13.1049
[2,2.001]
0.001
-13.10049
[2,2.0001]
0.0001
-13.100049
[2,2.00001]
0.00001
-13.1000049
[2,2.000001]
0.000001
-13.10000049
[2,2.0000001]
0.0000001
-13.10000005
大家有发现了什么特点?
通过这两个表格的对比,你们发现了什么?
对,当趋近于0时,即无论从的左边,还是右边,趋近于时,平均速度都趋近于一个确定的值.我们就把
我们用这个方法得到了高台跳水运动员在附近,平均速度逼近一个确定的常数.那其他时刻呢?
比如、等?
请大家按照刚才我们探究时的过程,用你手中的计算器,分别计算、这两个时刻附近的平均速度.请两个同学把小组计算出来的数据输入Excel表格.
附近的平均速度变化:
经过以上三个时刻的计算,大家都发现:
当时间间隔很小,也就是当两个时间的端点无限靠近时,就逼近了一个时刻,我们就把平均速度用为瞬时速度的近似值.
之前我们在学习函数零点的时候,利用“二分法”逼近函数零点.今天,根据上面的讨论,我们又用平均速度逼近了瞬时速度,这都体现了我们数学中无限逼近的思想.
学生思考.
学生思考.找不到好的方法来求运动过程中的瞬时速度.
根据已有的物理知识,学生回答仪器是通过测量气轨上滑块在时间内滑过的距离,用计算而得.
学生回答不是.
答:
时间间隔越小越好.使得变小.
学生利用计算器,分小组合作.每个小组随意选择几个的值,计算的值.
当趋近于时,从2的右边接近2时,平均速度趋于一个确定的值.
当趋近于时,从2的左边接近2时,平均速度趋于一个确定的值.
学生回答.
学生分组合作,思考、计算、讨论.
学生总结计算结果.
组织学生讨论、交流计算结果,激发学生的求知欲.明确本节课的教学内容.
平均速度为0?
通过计算结果与学生的认知产生冲突.
在实例观察中,感受逼近的思想,为求瞬时速度奠定基础.
让学生熟悉符号,在亲自计算的过程中感受逼近的思想.
从特殊到一般,让学生直观地理解运动员在任意时刻的瞬时速度.
10分钟
2
自
主
探
究
形成概念
对于高台跳水运动员的运动时刻,我们有这样的结论,那其他运动会吗?
如果我们把运动员的运动变化抽象为一个函数,也有这样的结论吗?
其实,物体的运动变化量可以抽象成一个函数,这样我们用到的就可以用一个跟为一般烦人表达式来表达,而就是我们上节课所学的平均变化率.我们可以用它来刻画一个函数在某个区间的变化趋势.
那如何更好地刻画一个函数的变化趋势呢?
为了探讨这个问题,我们来做这样的两个实验活动:
实验活动1:
求函数,,从到的平均变化率?
是不是这三个函数在0到1的变化趋势是一样的呢?
由此可见,正如平均速度只能粗略反映物体在某个时间段的运动状态,而要想更为精确的刻画物体在某个时刻的运动状态,我们只能通过瞬时速度.由此类比,对于函数来说,平均变化率也只能粗略的描述函数的变化趋势,那如何精确的描述函数的变化呢?
那如何求函数在某一点处的瞬时变化率呢?
下面我们就做另一个实验活动,看一下,当缩短时,平均变化率发生了什么样的变化?
请大家分组合作.
实验活动2:
已知函数
,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率:
结论:
用几何画板演示:
我们就把2记作是在处的瞬时变化率,用数学语言表达就是
这样,我们就实现了从平均变化率到瞬时变化率的过渡.得到了一个具体函数在处的瞬时变化率.问:
那对于任意一个函数在处的瞬时变化率该怎么表示?
一般地,函数在处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在处的导数,记作或。
即:
瞬时变化率和导数是同一个概念的两个名称。
根据平均变化率的公式
计算得这三个函数在同一个变化区间上平均变化率都是.
但根据图像发现这三个函数在0到1的变化趋势是不一样的.
瞬时变化率.
把区间缩短.
学生分组合作,计算结果,得出结论.要求一个小组展示成果,表达对结果的看法.
经过计算,学生会发现当两个区间的
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