届高考数学二轮复习理数 平面向量学案含答案全国通用Word下载.docx
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(2)(2017届湖南师大附中月考)O为△ABC内一点,且2
=0,
=t
,若B,O,D三点共线,则t的值为( )
C.
D.
答案 A
解析 由
,得
=t(
),
所以
+(1-t)
因为B,O,D三点共线,所以
=λ
则2
=λt
+(1-t)λ
故有
t=
,故选A.
思维升华
(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意平面向量基本定理的灵活运用.
(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.
跟踪演练1
(1)(2017·
河北省衡水中学三调)在△ABC中,
,P是直线BN上的一点,若
=m
,则实数m的值为( )
A.-4B.-1C.1D.4
答案 B
解析 因为
+k
=(1-k)
且
,所以
解得k=2,m=-1,故选B.
(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于( )
A.(-5,-10)B.(-4,-8)
C.(-3,-6)D.(-2,-4)
解析 因为a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,
所以m+4=0,m=-4,2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故选B.
热点二 平面向量的数量积
1.数量积的定义:
a·
b=|a||b|cosθ.
2.三个结论
(1)若a=(x,y),则|a|=
.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|
|=
(3)若非零向量a=(x1,y1),非零向量b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,
则cosθ=
例2
(1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足
,则
·
的值为( )
A.2B.-
D.-2
即
2-
2=2-
=2,故选A.
(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(
),则|a+2b|等于( )
A.2
B.
D.2
解析 向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(
可得|a-b|2=5,即|a|2+|b|2-2a·
b=5,解得a·
b=0.
|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·
b=1+16=17,
所以|a+2b|=
.故选B.
思维升华
(1)数量积的计算通常有三种方法:
数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义.
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.
跟踪演练2
(1)(2017·
全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
)的最小值是( )
A.-2B.-
C.-
D.-1
解析 方法一 (解析法)
建立平面直角坐标系如图①所示,则A,B,C三点的坐标分别为A(0,
),B(-1,0),C(1,0).
图①
设P点的坐标为(x,y),
则
=(-x,
-y),
=(-1-x,-y),
=(1-x,-y),
)=(-x,
-y)·
(-2x,-2y)
=2(x2+y2-
y)=2
≥2×
当且仅当x=0,y=
时,
)取得最小值,最小值为-
方法二 (几何法)
如图②所示,
(D为BC的中点),则
)=2
图②
要使
最小,则
与
方向相反,即点P在线段AD上,则(2
)min=-2|
||
|,问题转化为求|
|·
|
|的最大值.
又|
|+|
|=|
|=2×
∴|
|≤
2=
当且仅当|
|时取等号,
∴[
)]min=(2
)min=-2×
(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为
,则|a+2b|=________.
答案 2
解析 因为|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=
故a·
b=2cos〈a,b〉=-1,则(a+2b)2=a2+4a·
b+4b2=4-4+4=4,即|a+2b|=2.
热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.
例3 (2017·
江苏)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-
),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·
b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解
(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-
),a∥b,
所以-
cosx=3sinx.
若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,
故cosx≠0.
于是tanx=-
又x∈[0,π],所以x=
(2)f(x)=a·
b=(cosx,sinx)·
(3,-
=3cosx-
sinx=2
cos
因为x∈[0,π],所以x+
∈
从而-1≤cos
≤
于是,当x+
,即x=0时,f(x)取得最大值3;
当x+
=π,即x=
时,f(x)取得最小值-2
思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;
另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.
跟踪演练3 已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈R,函数f(x)=a·
(b-c).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f
,求sinα的值.
解
(1)因为a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),
c=(-cosx,-sinx),
所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),
f(x)=a·
(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx)
=sin2x+2sinxcosx-cos2x
=sin2x-cos2x=
sin
当2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z,
即kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z时,函数f(x)为减函数.
所以函数f(x)的单调递减区间是
,k∈Z.
(2)由
(1)知,f(x)=
又f
,sin
因为sin2
+cos2
=1,
所以cos
=±
又sinα=sin
=sin
+cos
所以当cos
sinα=
×
;
当cos
综上,sinα=
真题体验
1.(2017·
北京改编)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<
0”的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 方法一 由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°
∴m·
n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.
当90°
<θ<180°
时,m·
n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<0”的充分不必要条件.
方法二 ∵m=λn,∴m·
n=λn·
n=λ|n|2.
∴当λ<0,n≠0时,m·
n<0.
反之,由m·
n=|m||n|cos〈m,n〉<
0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈
,当〈m,n〉∈
时,m,n不共线.
2.(2017·
山东)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若
e1-e2与e1+λe2的夹角为60°
,则实数λ的值是________.
答案
解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·
e2=0,
e1-e2|=
=2.
同理|e1+λe2|=
所以cos60°
解得λ=
3.(2017·
天津)在△ABC中,∠A=60°
,AB=3,AC=2.若
(λ∈R),且
=-4,则λ的值为________.
解析 由题意知|
|=3,|
|=2,
=3×
2×
cos60°
=3,
)=
(λ
2+
2
3-
32+
22=
λ-5=-4,解得λ=
4.(2017·
北京)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则
的最大值为________.
答案 6
解析 方法一 根据题意作出图象,如图所示,A(-2,0),P(x,y).
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).
=|
|cosθ,
|=2,|
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