指数函数和对数函数单元教学设计Word文件下载.docx
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三.重点分析
本章的重点有三个:
1.指数函数与对数函数的概念;
2.指数函数与对数函数的图像、性质和运算性质;
3.函数增长快慢的比较。
四.教学建议
1.继续发展学生对变量数学的认识。
使学生进一步认识到,在充满变化的现实世界中,有一类反映运动变化的数量关系,它们都直接与指数函数、对数函数相联系。
例如,国民经济增长、人口增加、细胞分裂、放射性物质的衰变等。
2.使学生经历幂指数由整数逐步扩充到实数及由指数得到对数的过程。
3.指数函数和对数函数是高中阶段最重要的两个函数模型,必须让学生掌握包括定义域与值域、特殊点、单调性及增长速度等基础知识和研究函数的基本方法。
4.由于对数增长、多项式增长、指数增长是刻画增长的最基本的模式,因而教学中要通过具体函数,让学生利用计算工具,感知指数函数、对数函数以及幂函数增长差异,体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
五.部分教学设计
1.对数的概念
【教学目标】
1.知识与技能
(1)理解对数的定义:
这一符号的含义,字母
的取值范围;
(2)理解指数式和对数式之间的关系,能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一,相互联系,相互转化的思想;
(3)根据对数的定义,归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式
;
(4)理解常用对数的概念;
2.过程与方法
通过与指数式的比较,引入对数的概念,进而研究它的性质。
3.情感、态度、价值观
通过对数式与指数式的转换,培养学生分析、归纳能力,在学习过程中培养学生的探究意识。
【教学重难点】
重点:
对数的概念,对数式与指数式的互化
难点:
对数的概念及性质的理解
【教学过程】
一.支架引导
1.锚式问题
由指数函数中的细胞分裂问题,引出细胞分裂第
次后,细胞的个数
如果知道细胞分裂若干次后的个数为
,如何求出分裂次数
这就是已知底数和幂,要求指数的问题;
2.先行组织者:
类比、对比、归纳、总结
二.梯次探究
指导探究
链式问题1:
对数的概念
如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
链式问题2:
指数式ax=N与对数式logaN=x的关系?
式子
名称
x
N
指数式
ax=N
底数
指数
幂值
对数式
对数
真数
探究:
(1)在对数定义中,为什么也要限定a>0且a≠1?
因为对数概念源出于指数,对数式logaN=x是由指数式ax=N转化而来,对数的底数就是指数的底数,而ax=N中要使它对任意实数b都有意义,必须a>0且a≠1,所以对数式中也必须要求a>0且a≠1.
(2)1的对数等于多少,logaa(a>0且a≠1)的对数等于多少,零和负数有没有对数?
当a>0且a≠1时,a0=1,即a的零次幂为1,所以0就是以a为底1的对数;
a1=a,即a的1次幂为a,所以1就是以a为底a的对数;
在ax=N中,对任意实数b,都有ab>0,即N>0,所以不存在实数b,使ab≤0,即零和负数是没有对数的.
链式问题3:
对数的性质
若a>0且a≠1
(1)loga1=0;
(2)logaa=1;
(3)零和负数没有对数,即真数N>0;
(4)对数恒等式
,logaaN=N。
链式问题4:
常用对数和自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,log10N可简记为lgN;
以e为底的对数叫做自然对数,logeN简记为lnN.
三.应用质疑
1.典例分析
例1.将下列指数式写成对数式:
(1)54=625;
(2)3-3=1/27;
(3)84/3=16;
(4)5a=15.
例2.将下列对数式写成指数式:
(1)log1/216=—4;
(2)log3243=5;
(3)log327=3;
(4)lg0.1=—1.
例3.求下列各式的值:
(1)log525;
(2)log1/232;
(3)3log310;
(4)ln1;
(5)log77.
2.练习
练习1~3
3.作业
122页练习1.2.3.4题
四.课外延伸
对数的发明者:
布尔基与耐普尔
数学史册上的对数发明者是两个人:
英国的约翰·
耐普尔(JohnNaeipr,1550-1617)和瑞士的乔伯斯特·
布尔基(JobstBü
rgi,1552-1632).
布尔基原是个钟表技师,1603年被选为布拉格宫庭技师后,开始与著名的天文学家开普勒接触,了解到天文学计算的一些具体情况.他体察天文学家的辛劳,并决定为他们提供简便的计算方法.布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表.从原则上说,史提非已经解决了将乘(除)运算转为加(减)运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用,实用的对数表必须包括所有要乘的数在内.耐普尔原是苏格兰的贵族.生于苏格兰的爱丁堡,十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习.十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学,丰富了自己的学识.耐普尔虽不是专业数学家,但酷爱数学,他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力.正如他所说:
“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算,因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏.”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”,而为制作对数表他花了整整20年时间.对数产生于17世纪初叶,为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的位置,为了适应天文事业的发展,需要处理观测行星运动的数据,就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数.恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就,给予很高的评价.
2.对数函数概念、图像及性质
1.知识与技能
(1)掌握对数函数的概念。
(2)根据对数函数图象探索并理解对数函数的性质。
2.过程与方法:
(1)通过对对数函数的学习,渗透数形结合的思想。
(2)能够用类比的观点看问题,体会知识间的有机联系。
3.情感态度与价值观:
(1)培养学生观察、分析能力,从特殊到一般的归纳能力。
(2)培养学生的合作交流、共同探究的良好品质,调动学生学习数学的积极性。
对数函数的定义、图像、性质
对数函数与指数函数的关系
一、支架引导
1.锚式问题:
某种细胞分裂时,得到的细胞的个数
是分裂次数
的函数,这个函数可以用指数函数
=
表示。
现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个……细胞,那么,分裂次数
就是要得到的细胞个数
的函数
根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是
。
方法性组织者:
类比、对比、猜想、归纳、总结
指导研究
1.链式问题1:
对数函数的概念
我们在
与
这两个式子中,对数式
可由指数式
得到,像这样,对于任意的一个y∈(0,+∞),通过
,x∈R中都有唯一确定的值和他对应,即可以把y作为自变量,x作为y的函数,这是我们就说
是函数
的反函数。
如果用
表示自变量,
表示函数,这个函数就是
对数函数
与指数函数
互为反函数。
一般地,我们把函数
叫做对数函数。
我们知道指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞)。
由反函数的定义我们可以推出对数函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)。
而底数a与指数函数中的a是相同的,所以限制条件也同为a>
0,a≠1
注意:
①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如:
,
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
②对数函数对底数的限制:
2.链式问题2.
对数函数的图像
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象:
(1)①
②
做图步骤:
列表、描点、用平滑曲线连结起来
……
1
2
4
学生练习:
(2)③
④
思考:
这些函数的图象有什么关系?
类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于
轴对称,得出底数互为倒数的两个对数函数的图象关于
轴对称
同理我们也可以画出底数为
……等等的对数函数图象,我们不难发现如下共同特征:
3.链式问题3:
类比指数函数图象和性质,研究对数函数图象和性质
a>
0<
a<
图
象
定义域:
值域:
R
性
质
(1)过定点:
(1,0)即
时,
(2)单调性:
在
上是增函数
上是减函数
(3)最值:
没有最值
(4)奇偶性:
不具有奇偶性
的对应关系
当
时,
三.运用质疑
1.典例分析
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