专题培优 八年级数学上册 全等三角形证明题 培优专题含答案Word格式.docx
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已知:
在△ABC中,∠BAC=90°
AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,
CE⊥AE于E.
(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由;
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何?
请说明理由;
(3)归纳
(1)、
(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
如图,已知∠B+∠CDE=180°
,AC=CE.求证:
AB=DE.
如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°
)绕着顶点B顺时针旋转60°
,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
如图,已知:
正方形ABCD,由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,且∠EAF=45°
,求证:
BE+DF=EF.
如图,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连接AF.求证:
∠B=∠CAF.
如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:
∠A+∠C=180°
.
如图,已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=1200,求证:
AM=2MB;
∠MPB=900﹣
∠FCM.
如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系?
请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为A(0,m)、B(n,0),且|m﹣n﹣3|+
=0,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)求OA、OB的长;
(2)连接PB,设△POB的面积为S,用t的式子表示S;
(3)过点P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与x轴交于点E,在点P运动的过程中,是否存在这样的点P,使△EOP≌△AOB?
若存在,请求出t的值;
若不存在,请说明理由.
参考答案
(1)证明:
∵AC是角平分线,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°
,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∴△BCE≌△DCF;
(2)解:
∵CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,∴∠F=∠CEA=90°
在Rt△FAC和Rt△EAC中,
,∴Rt△FAC≌Rt△EAC,∴AF=AE,
∵△BCE≌△DCF,∴BE=DF,∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
证明:
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠CAF=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,∵
,∴△ABF≌△AEC(SAS),∴EC=BF;
(2)如图,根据
(1),△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°
,∴∠AEC+∠ADE=90°
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),∴∠ABF+∠BDM=90°
在△BDM中,∠BMD=180°
﹣∠ABF﹣∠BDM=180°
﹣90°
=90°
,所以EC⊥BF.
答案为:
80°
,50°
;
因为∠CEB=∠CAB=90°
所以:
ABCE四点共元
又因为:
∠ABE=∠CBE所以:
AE=CE所以:
∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:
AG=BG=DG
∠GAB=∠ABG
而:
∠ECA=∠GBA所以:
∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
AC=AB所以:
△AEC≌△AGB
EC=BG=DG所以:
BD=2CE
证明:
延长AC至E,使CE=CD,连接ED
∵AB=AC+CD∴AE=AB
∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD
∴AE=AB∠EAD=∠BADAD=AD∴△ADE≌△ADB
∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD
∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B
即∠C=2∠B
解:
(1)在△ABC中,∠BAC=90°
,∴∠BAD=90°
-∠EAC。
又∵BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,∴∠BAD=90°
-∠EAC=∠ACE。
而AB=AC,于是△ABD全等于△CAE,BD=AE,AD=CE。
因此,BD=AE=AD+DE=DE+CE。
(2)DE=BD+CE。
理由:
与
(1)同理,可得△ABD全等于△CAE,于是BD=AE,CE=AD,DE=AE+AD=BD+CE。
(3)当直线AE与线段BC有交点时,BD=DE+CE;
当直线AE交于线段BC的延长线上时,DE=BD+CE。
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°
,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠AEB=90°
,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC.
如图,过E点作EH∥AB交BD的延长线于H,故∠A=∠CEH,
在△ABC与△EHC中,
∴△ABC≌△EHC(ASA),∴AB=HE,
∵∠B+∠CDE=180°
,∠HDE+∠CDE=180°
∴∠HDE=∠B=∠H,
∴DE=HE.∵AB=HE,∴AB=DE.
∵在△CBF和△DBG中,
,∴△CBF≌△DBG(SAS),∴CF=DG;
∵△CBF≌△DBG,∴∠BCF=∠BDG,
又∵∠CFB=∠DFH,
又∵△BCF中,∠CBF=180°
﹣∠BCF﹣∠CFB,
△DHF中,∠DHF=180°
﹣∠BDG﹣∠DFH,∴∠DHF=∠CBF=60°
∴∠FHG=180°
﹣∠DHF=180°
﹣60°
=120°
如图,延长CD到G,使DG=BE,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°
,∴∠ADG=∠B,
在△ABE和△ADG中,
,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,
∵∠EAF=45°
,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90°
﹣45°
=45°
,∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△AGF中,
,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF,
∵GF=DG+DF=BE+DF,∴BE+DF=EF.
∵EF垂直平分AD,∴AF=DF,∠ADF=∠DAF,
∵∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD,
又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠B=∠CAF.
过点D作DE⊥BC于E,过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F,
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,∠DEC=∠F=90°
在RtCDE和Rt△ADF中,
,∴Rt△CDE≌Rt△ADF(HL),
∴∠FAD=∠C,∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°
略
如图,连接PB,PC,
∵AP是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,∴PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°
∵P在BC的垂直平分线上,∴PC=PB,
在Rt△PMC和Rt△PNB中,
,∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL),∴BN=CM.
(1)∵|m﹣n﹣3|+
=0,且|m﹣n﹣3|≥0,
≥0
∴|m﹣n﹣3|=
=0,∴n=3,m=6,∴点A(0,6),点B(3,0);
(2)连AP=t,OP=|6﹣t|,∴S=0.5OPOB=1.5|6﹣t|;
(t≥0)
(3)作出图形,
∵∠OAB+∠OBA=90°
,∠OAB+∠OPE=90°
,∴∠OBA=∠OPE,
∴只要OP=OB,即可求证△EOP≌△AOB,∴AP=AO+OP=9,∴t=9.
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