完整版高考理科数学全国2卷含答案.docx
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完整版高考理科数学全国2卷含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国2卷)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
()
A.
B.
C.
D.
2.设集合
,
.若
,则
()
A.
B.
C.
D.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.
B.
C.
D.
5.设
,
满足约束条件
,则
的最小值是()
A.
B.
C.
D.
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()
A.12种B.18种C.24种D.36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的
,则输出的
()
A.2B.3C.4D.5
9.若双曲线
(
,
)的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2,则
的离心率为()
A.2B.
C.
D.
10.已知直三棱柱
中,
,
,
,则异面直线
与
所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
11.若
是函数
的极值点,则
的极小值为()
A.
B.
C.
D.1
12.已知
是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
的最小值是()
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一批产品的二等品率为
,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取
次,
表示抽到的二等品件数,则
.
14.函数
(
)的最大值是.
15.等差数列
的前
项和为
,
,
,则
.
16.已知
是抛物线
的焦点,
是
上一点,
的延长线交
轴于点
.若
为
的中点,则
.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
的内角
的对边分别为
已知
.
(1)求
(2)若
面积为2,求
18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)其频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P(
)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,
E是PD的中点.
(1)证明:
直线
平面PAB
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为
,求二面角M-AB-D的余弦值
20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:
上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足
.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且
.证明:
过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.(12分)已知函数
且
.
(1)求a;
(2)证明:
存在唯一的极大值点
,且
.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)M为曲线
上的动点,点P在线段OM上,且满足
求点P的轨迹
的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为
,点B在曲线
上,求
面积的最大值.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知
,证明:
(1)
;
(2)
.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D2.C3.B4.B5.A6.D
7.D8.B9.A10.C11.A12.B
二、填空题
13.1.9614.115.
16.6
三、解答题
17.解:
(1)由题设及
,故
上式两边平方,整理得
解得
(2)由
,故
又
由余弦定理及
得
所以b=2
18.解:
(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于
”,
表示事件“新养殖法的箱产量不低于
”
由题意知
旧养殖法的箱产量低于
的频率为
故
的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于
的频率为
故
的估计值为0.66
因此,事件A的概率估计值为
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由于
故有
的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于
的直方图面积为
,
箱产量低于
的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
.
19.解:
(1)取
中点
,连结
,
.
因为
为
的中点,所以
由
得
,又
所以
.四边形
为平行四边形,
.
又
,
,故
(2)
由已知得
以A为坐标原点,
的方向为x轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则
,
,
,
,
则
因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而
是底面ABCD的法向量,所以
,
即(x-1)²+y²-z²=0
又M在棱PC上,设
由①,②得
所以M
,从而
设
是平面ABM的法向量,则
所以可取m=(0,-
,2).于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
20.解
(1)设P(x,y),M(x0,y0),设N(x0,0),
由
得
因为M(x0,y0)在C上,所以
因此点P的轨迹方程为
(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则
,
由
得
,又由
(1)知
,故
3+3m-tn=0
所以
,即
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.解:
(1)
的定义域为
设
,则
等价于
因为
若a=1,则
.当0<x<1时,
单调递减;当x>1时,
>0,
单调递增.所以x=1是
的极小值点,故
综上,a=1
(2)由
(1)知
设
当
时,
;当
时,
,所以
在
单调递减,在
单调递增
又
,所以
在
有唯一零点x0,在
有唯一零点1,且当
时,
;当
时,
,当
时,
.
因为
,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由
得
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由
得
所以
22.解:
(1)设P的极坐标为
,M的极坐标为
,由题设知
由
得
的极坐标方程
因此
的直角坐标方程为
(2)设点B的极坐标为
由题设知
于是△OAB面积
当
时,S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.解:
(1)
(2)因为
所以
,因此a+b≤2.
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