计算不定积分应该注意的几个问题文档格式.docx
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则称
为
上的一个原函数.
定义2
函数
上的全体原函数称为
在
上的不定积分,记作
其中称
为积分号,
为被积函数,
为被积表达式,
为积分变量.
注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视.
定理1若函数
上连续,则
上存在原函数
,即
.
定理2设
是
上的一个原函数,则
也是
上的原函数,其中
为任意常量函数;
上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数.
定理3若函数
上都存在原函数,
、
为两个任意常数,则
上也存在原函数,且
常用基本积分公式:
.
(5)
.
2直接积分法易犯错误举例剖析
直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分基本运算法则或通过简单代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法,这是一种最基本最简单最直接积分方法,这也是我们初学不定积分应该掌握的最基本的计算方法,下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下.
2.1运算中漏掉“
”、“
”
例1求
错解
例2求
错解
剖析发生这类错误,有三种可能的情形:
1)不定积分概念不清楚以及对“
意义不清楚;
2)对“
”出现的意义不明确,这应该指的是函数的所有原函数才对并不单独指某一个原函数;
3)粗心大意.为减少这类错误的发生,我们再学习这部分内容时,应该注意强调函数的不定积分指的是该函数的所有原函数以及利用一切可能的机会强调符号“
”的意义及有关的运算法则,通过一定量的训练让我们能够正确的进行一些基础运算,为后边的内容打下一个坚实的基础.
2.2自创运算法则致误
例3求
例4求
剖析发生这类错误主要是我们根据思维定势自创运算法则造成,我们受之前的
极限四则运算法则及导数四则运算法则的影响,在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四则运算法则,且很容易自创如下错误法则
(1);
(2).
我们在解题过程中错误的运用这两个运算法则导致很多不该犯的错误就是没有搞清楚实际上不定积分有加减运算法则但没有乘法运算法则也没有除法运算法则,因此我们在计算不定积分时首先应熟记运算法则,不要无中生有以致不该出现的误解.
2.3对公式
的错误运用
例5求
例6求
剖析这种错误主要是源于对公式的特征识别有误,要想真正掌握基本积分公式,
我们再听积分基本公式的推导时要辨别各种公式的模式特点,在做例题时,仔细分析题目,有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式,对不符合公式模式的寻找其他的解题途径,从理论上和心理上为正确运用公式奠定基础.
2.4对公式
例7求
例8求
错解由
剖析这类错误主要是对幂函数积分公式的模式识别有误,从题目形式上来看,
第一个例题不能直接用幂函数积分公式,只有当被积表达式化为
形式时
才能用,但第二个例题正好符合公式,错误主要是没有真正掌握换元思想,下面我们将会介绍换元和公式的结合.
总结以上主要列举了用直接积分法计算不定积分时我们经常出现错误的地方,其实类似这类错误还有很多,如:
像这类系数问题、符号问题也是不定积分中常见的错误,问题出在函数的微分运算上,在这里就不再一一列举,以上所列举的几种类型主要是提醒我们在初学计算不定积分时,必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略,并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形,或对被积表达式进行凑微分、变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形式,因此在初学计算不定积分时要细心认真,掌握最基本的为下面计算更加复杂的积分奠定一个良好的基础.
3第一换元积分法应注意问题
第一换元积分法
若函数
,且
,
有
,则函数
存在原函数
第一换元积分法即如何凑成微分形式,然后利用基本积分公式,它是不定积分的基本方法.但是有些凑微分法需要一定的方法技巧,而且往往要多次尝试,我们初学者只有多看多做扩宽视野多积累经验才能熟能生巧,下面将对根据自己所掌握的对利用第一换元积分法计算不定积分需要注意的问题归纳整理,希望对学习不定积分有一定的帮助.
3.1牢记凑微分公式
在用第一换元积分法求不定积分时,要牢记常用的凑微分公式,只有这样
才能对熟练运用第一类换元积分法起到事半功倍的效果.
例9
求
解原式=
分析由凑微分公式
可以看出中间变量可以确定为
,即可求解.
例10求
解
分析因为
可知中间变量为
,其解可根据上述公式求出.
从以上可以看出,熟练掌握凑微分公式,对灵活运用第一类换元积分法有较大的作用,但是我们在计算过程中一定要注意保证凑微分过程的准确性,否则将会带来很大的麻烦,易导致最后的结果错误.
3.2注意解的不同表示方法
我们在用第一类换元积分法求解时,常常遇到方法正确而解有所不同的地方,这
时不要怀疑方法的正确性,这主要是因为由于中间变量选定的差异,可能造成解的形式有差异,但是这些解经过一定的变形后可化成相同形式.
例11
解法一原式=
解法二原式=
=
=
=
解法三原式=
从以上可知三种解法,三个中间变量,得到三种不同形式的解,但最终都可化为
一种形式的解,所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对,要仔细的检查自己选的中间变量是否正确.
总结以上主要列举了用第一换元积分法计算不定积分时最需要注意的两个问题,还有一些细节方面的问题就不再举例了,参考直接积分法就可以了,此类积分法主要就是确定中间变量,一个积分有可能有很多不同的中间变量,我们一定要注意观察,用适合自己的方法解决此类问题.
4第二换元积分法中易犯错误剖析
第二换元积分法设函数
,函数
存在原函数,且
第二类换元积分法一般是先做变量代换,然后再求积分,一共分为四个步骤来完成,即换元、整理、积分、回代,其中第一步是关键步骤,下面讲述的一类错误主要就是有关换元过程中忽略一些条件所引起的.
例12
错解令
,则原式可化为
原式=
剖析从题目中我们可以看出原来被积函数的定义域是
,经过变量代换
后,
对应定义域为
,因此
,但是上述解法却直接把绝对值去了,这就相当于仅考虑了被积函数在
的定义域,从而导致只计算了一半把另一半忽略了.
例13求
(令
)
剖析根据在化简过程可以确定被积函数的定义域
,因此在去绝对值过程中,只考虑了被积函数在第一象限而忽略了在第二象限,导致题目漏解.
总结通过以上两个例题的分析,指出了用第二换元积分法计算不定积分时最容易出现错误的地方,即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情况,这应该引起我们的重视,因此在遇到类似情况时首先就算一下被积函数的定义域,然后在进行下面过程,这样就很容易避免类似错误发生.
5分部积分法应注意事项
分部积分法若
可导,不定积分
存在,则
也存在,并有
分部积分法是积分学的一个宝贵方法,他可以解决某些用换元积分法不能计算的积分,该方法主要是根据两个函数乘积的微分法则建立起来的,但是有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果,在计算过程中一定得仔细认真.
例14
错解原式=
等式两边消去
,得1=0.
剖析此题错误主要是错在最后一步,不定积分是原函数加上一个任意常数
因此不定积分不是一个确定的函数,不可在等式两边消去不定积分,若是按上面做法是求不出结果的,而且消去不定积分得“0=1”更是错误的.
注意有时用分部积分法计算不定积分几次分部后,又出现原积分,可移项求解,此时要求:
(1)移项后的相同不定积分系数可合并,但不可为零;
(2)移项后等式另一边要加上“
”.
例15求
解
则
从而
6计算某类特殊积分注意事项
计算不定积分除了以上几个比较常用的方法外,我们在计算过程中可能会遇到更复
杂的不定积分如:
有理函数的不定积分、分段函数的不定积分等,这时我们会发现再用平常的积分方法根本解决不了问题,但是不管再复杂,我们还是
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