3命题逻辑 31 命题的有关概念 1命题 2原子命题简单命题 3Word格式.docx
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4.命题公式的类型
3.4逻辑等值的命题公式
1.逻辑等值的定义
2.基本等值式
3.等值演算法
4.对偶原理
3.5命题公式的范式
1.命题公式的析取范及合取范式
2.命题公式的主析取范及主合取范式
3.6联结词集合的功能完备性(自学)
3.7命题逻辑中的推理
1.推理形式有效性的定义
2.基本推理规则
3.命题逻辑的自然推理系统
【提出问题1】
有一逻辑学家误入某部落,被拘于牢狱,酋长意欲放行,他对逻辑学家说:
“今有两门,一为自由,一为死亡,你可任意开启一门。
为协助你逃脱,今加派两名战士负责解答你所提的问题。
惟可虑者,此两战士中一名天性诚实,一名说谎成性,今后生死由你自己选择。
”逻辑学家沉思片刻,即向一战士发问,然后开门从容离去。
该逻辑学家应如何发问?
逻辑学家手指一门问身旁的一名战士说:
“这扇门是死亡门,他(指另一名战士)将回答‘是’,对吗?
”
当被问战士回答“对”,则逻辑学家开启所指的门从容离去。
当被问的战士回答“否”,则逻辑学家开启另一扇门从容离去。
P
Q
R
S
1
事实上,如果被问者是诚实战士,他回答“对”。
则另一名战士是说谎战士,他回答“是”,那么,这扇门不是死亡门。
如果被问战士是诚实战士,他回答“否”。
则另一名战士是说谎战士,他回答“不是”,那么,这扇门是死亡门。
如果被问者是说谎战士,可以类似分析。
设P:
被问战士是诚实人。
Q:
被问战士的回答是“对”。
R:
另一名战士的回答是“是”。
S:
这扇门是死亡门。
【提出问题2】
一家航空公司,为了保证安全,用计算机复核飞行计划。
每台计算机能给出飞行计划正确或者有误的回答。
由于计算机也有可能发生故障,因此采用三台计算机同时复核。
由所给答案,根据“少数服从多数”的原则作出判断。
试将结果用公式表示,并加以简化,画出电路图。
设C1,C2,C3分别表示三台计算机的答案,S表示判断结果,根据题意其的真值表如下。
S=(C1∧C2∧C3)∨(C1∧C2∧C3)∨(C1∧C2∧C3)∨(C1∧C2∧C3)
=(C2∧C3)∨(C1∧C3)∨(C1∧C2)
C1
C2
C3
逻辑学是研究思维形式及思维规律尤其是推理的学科,早在两千多年前就受到人们的重视,古希腊著名逻辑学家亚里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)是形式逻辑的创始人。
德国数学家、哲学家莱布尼茨(G.Leibniz,1647~1716)首先提出用数学方法研究逻辑,就是建立一套表意符号体系,在符号之间进行形式推理.莱布尼茨是数理逻辑的创始人.也正因为这样,数理逻辑又称为符号逻辑。
◆逻辑推理无处不在,从日常生活中的实际问题的解决到数学定理的证明以及程序正确性验证.
◆除了传统的数理逻辑(内容包括逻辑演算、公理化集合论、模型论、递归论和证明论)外,还出现了各种各样的应用逻辑,如多值逻辑、模态逻辑、归纳逻辑、时序逻辑、动态逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑、缺省逻辑、算法逻辑及程序逻辑等,这些都与计算机科学密切相关.
◆命题逻辑与谓词逻辑是数理逻辑的基础部分.
◆计算机的计算过程就是推理过程,而每一步推理离不开判断,判断的对象就是命题.
1.命题
命题是能判断出真假的语句.
如何理解命题?
⑴必须是一个完整的句子,包括用数学式子表达;
⑵语句必须具有真假意义(有对错之分);
祈使句、疑问句和感叹句不具有真假意义。
⑶语句具有真假意义,一般是陈述句.
【例】判断下列语句是否是命题
(1)2+3=5.
(2)大熊猫产在我国东北.
(3)x>
3.
(4)立正!
(5)这朵花真漂亮!
(6)你喜欢网络游戏吗?
(7)火星上有生物.
(8)我说的都是假话.
(9)小王和小李是同学.
(10)你只有刻苦学习,才能取得好成绩.
2.命题的真值
命题的真值就是命题的逻辑取值.经典逻辑值只有两个:
1和0。
它们是表示事物状态的两个量.若一个命题是真命题,其真值为1;
若一个命题是假命题,其真值为0.
在计算机专业课程中,将逻辑真用1表示,逻辑假用0表示.
在电路中通常规定,1表示开关处于接通状态,0表示开关处于断开状态;
三极管饱和用1表示,三极管截止用0表示;
在电路分析和设计时规定,1表示高于逻辑高电平信号,0表示逻辑低电平信号等;
在数理逻辑中,逻辑真是用T(True),逻辑假用F(False)表示的。
3.原子命题与复合命题
【原子命题】也称简单命题。
是指一个命题不包含有更小的命题。
⑴命题逻辑研究的基本单位;
⑵原子命题不能再分解为更为简单的命题,即不能拆分;
⑶通常用小写英文字母p,q,r,s,…或带下标p1,p2,p3,…等来表示。
〖例〗上例中,
(1)
(2)(7)(9)是原子命题。
【复合命题】一个命题包含有更小的命题。
⑴复合命题是由原子命题构成,可以分解为更为简单的命题,即可以拆分;
⑵要想表达复合命题,需用逻辑联结词,即给定原子命题,使用逻辑联结词可以构成一个复合命题。
〖例〗上例(10)是复合命题,它包含有两个原子命题“你刻苦学习”和“你取得好成绩”.
4.逻辑常量与逻辑变量
1和0称为逻辑常量;
逻辑表达式中出现的p,q,r,s,…或p1,p2,p3,…等称为命题变元或逻辑变量.
命题变元可以代表任意命题,从取值的角度看,命题变元既可以取1又可以取0.
原子命题通过逻辑联结词构成复合命题。
逻辑联结词就是逻辑运算。
有一元和二元。
3.2逻辑联结词
1.否定联结词(p)
【定义】设p是一个命题,联结词和命题p构成p的否定复合命题p。
读作“非p”。
⑴否定联结词是一元逻辑运算;
⑵p是数理逻辑中的标准符号,也可记为~p;
⑶C语言!
p,在计算机其他课程中用p表示,对应于门电路的“非门”。
其运算表:
〖例〗p:
2+3=5,而p:
2+35.
2.合取联结词(pq)
【定义】设p,q是一个命题,联结词和命题p和q构成p和q的合取复合命题pq。
读作“p合取q”。
⑴合取“”相当于“并且”,“和”,“与”,“以及”、“不但…且”、“虽然…但是”等。
⑵在数理逻辑中,合取联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑶并非所有的“和”都有合取之意。
如“小王和小李是同学”中的“和”并没有合取之意。
⑷合取“”逻辑联结词是二元逻辑运算。
⑸C语言&
&
,在计算机其他课程中用·
表示,门电路为“与门”。
〖例〗p:
小李能歌,q:
小李善舞.而pq:
小李能歌且善舞.
3.析取联结词(pq)
读作“p析取q”。
⑴析取“”相当于“或者”。
⑵在数理逻辑中,析取联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑶自然语言中的“或”可能是“可兼或”,也可能是“不可兼或”(排斥或),而析取表达的是可兼或。
⑷析取“”逻辑联结词是二元逻辑运算。
⑸C语言||,在计算机其他课程中用+表示,门电路为“或门”。
〖例〗
p:
这学期我选修人工智能课程,q:
这学期我选修模式识别课程.
pq:
这学期我选修人工智能课程或者模式识别课程.
4.异或联结词pq
“可兼或”,它表示两者可同时为真,用析取表示即可;
“不可兼或”,它表示两者不能同时为真,换句话说,两者同时为真是假命题.这就需要异或联结词.
【定义】设p,q是一个命题,联结词和命题p和q构成p和q的异或复合命题pq。
读作“p异或q”。
⑴异或“”相当于“或者”。
⑵在数理逻辑中,异或联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑶自然语言中的“或”可能是“可兼或”,也可能是“不可兼或”(排斥或),而析取表达的是不可兼或。
⑷异或“”逻辑联结词是二元逻辑运算。
p:
明天去深圳的飞机是上午八点起飞,q:
明天去深圳的飞机是上午八点半起飞.
明天去深圳的飞机是上午八点半起飞.
5.蕴涵联结词pq
pq中前件为假,无论后件真假,命题均为真。
与自然语言表达有出入。
【定义】设p,q是一个命题,联结词和命题p和q构成p和q的蕴涵复合命题pq。
读作“p蕴涵q”。
⑴“”相当于“如果…那么…”,“若…则…”等.
⑵是二元逻辑运算。
⑶在数理逻辑中,蕴涵联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑷在pq中,p为前件,q为后件,只有当前假为真,后件为假时,命题为假。
6.等价联结词pq
读作“p等价q”。
⑴“”相当于“当且仅当”,“充分必要条件”等.
⑶在数理逻辑中,等价联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
⑷在pq中,只有当p、q同真、同假时复合命合命题才为真。
⑸在数字逻辑等课程中,等价联结词称为“同”,并用“⊙”符号表示.
“p当且仅当q”有两层含义:
(1)“p当q”是指qp.
(2)“p仅当q”是指pq.等价联结词也称为双蕴涵联结词或双条件联结词。
四边形是平行四边形,q:
四边形的对边平行.
pq:
四边形是平行四边形当且仅当四边形的对边平行.
7.与非联结词pq
【定义】设p,q是一个命题,联结词和命题p和q构成p和q的与非复合命题pq。
读作“p与非q”。
⑴是二元逻辑运算。
⑵在数理逻辑中,与非联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
8.或非联结词pq
【定义】设p,q是一个命题,联结词和命题p和q构成p和q的或非复合命题pq。
读作“p或非q”。
⑵在数理逻辑中,或非联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
9.条件否定联结词
⑴是二元逻辑运算。
⑵在数理逻辑中,条件否定联结词可以将任意两个命题联结起来以构造出新的命题。
3.3命题公式及其真值表
命题逻辑的符号体系。
1.命题公式的定义
命题公式是由命题常量、命题变元、逻辑联结词、左圆括号(及由圆括号)构成的有意义)的符号串,其严格定义可借助于递归定义方式给
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