线性代数重要公式Word格式文档下载.docx
- 文档编号:12981268
- 上传时间:2022-10-01
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:432.71KB
线性代数重要公式Word格式文档下载.docx
《线性代数重要公式Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数重要公式Word格式文档下载.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
):
④、
⑤、拉普拉斯展开式:
、
⑥、范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6.对于
阶行列式
,恒有:
,其中
为
阶主子式;
7.证明
的方法:
②、反证法;
③、构造齐次方程组
,证明其有非零解;
④、利用秩,证明
⑤、证明0是其特征值;
2 矩阵
8.
是
阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组
有非零解;
,
总有唯一解;
与
等价;
可表示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0;
是正定矩阵;
的行(列)向量组是
的一组基;
中某两组基的过渡矩阵;
9.对于
阶矩阵
无条件恒成立;
10.
11.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;
行列式是数值,可求代数和;
12.关于分块矩阵的重要结论,其中均
可逆:
若
,则:
Ⅰ、
Ⅱ、
②、
(主对角分块)
③、
(副对角分块)
(拉普拉斯)
⑤、
3 矩阵的初等变换与线性方程组
13.一个
矩阵
,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:
等价类:
所有与
等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;
标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵
,若
14.行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
15.初等行变换的应用:
(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
1、若
可逆,且
②、对矩阵
做初等行变化,当
变为
时,
就变成
,即:
③、求解线形方程组:
对于
个未知数
个方程
,如果
16.初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
,左乘矩阵
乘
的各行元素;
右乘,
的各列元素;
③、对调两行或两列,符号
,且
,例如:
④、倍乘某行或某列,符号
⑤、倍加某行或某列,符号
且
,如:
17.矩阵秩的基本性质:
③、若
④、若
可逆,则
(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
(※)
⑥、
⑦、
⑧、如果
矩阵,
矩阵,且
Ⅰ、
的列向量全部是齐次方程组
解(转置运算后的结论);
Ⅱ、
⑨、若
均为
阶方阵,则
18.三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:
一定可以分解为列矩阵(向量)
行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如
的矩阵:
利用二项展开式;
二项展开式:
注:
展开后有
项;
Ⅲ、组合的性质:
③、利用特征值和相似对角化:
19.伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:
②、伴随矩阵的特征值:
20.关于
矩阵秩的描述:
中有
阶子式不为0,
阶子式全部为0;
(两句话)
阶子式不为0;
21.线性方程组:
矩阵,则:
与方程的个数相同,即方程组
有
个方程;
与方程组得未知数个数相同,方程组
元方程;
22.线性方程组
的求解:
①、对增广矩阵
进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:
自由变量赋初值后求得;
23.由
个方程的方程组构成
元线性方程:
(向量方程,
个方程,
个未知数)
(全部按列分块,其中
);
(线性表出)
⑤、有解的充要条件:
(
为未知数的个数或维数)
4 向量组的线性相关性
24.
个
维列向量所组成的向量组
构成
维行向量所组成的向量组
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
25.①、向量组的线性相关、无关
有、无非零解;
(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出
是否有解;
(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示
(矩阵方程)
26.矩阵
行向量组等价的充分必要条件是:
同解;
例14)
27.
例15)
28.
维向量线性相关的几何意义:
线性相关
线性相关
坐标成比例或共线(平行);
共面;
29.线性相关与无关的两套定理:
线性相关,则
必线性相关;
线性无关,则
必线性无关;
(向量的个数加加减减,二者为对偶)
维向量组
的每个向量上添上
个分量,构成
也线性无关;
反之若
也线性相关;
(向量组的维数加加减减)
简言之:
无关组延长后仍无关,反之,不确定;
30.向量组
(个数为
)能由向量组
)线性表示,且
(二版
定理7);
向量组
能由向量组
线性表示,则
定理3)
线性表示
有解;
定理2)
向量组
等价
定理2推论)
31.方阵
可逆
存在有限个初等矩阵
,使
①、矩阵行等价:
(左乘,
可逆)
同解
②、矩阵列等价:
(右乘,
可逆);
③、矩阵等价:
32.对于矩阵
①、若
行等价,则
的行秩相等;
②、若
同解,且
的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵
的行秩等于列秩;
33.若
的列向量组能由
的列向量组线性表示,
为系数矩阵;
的行向量组能由
的行向量组线性表示,
(转置)
34.齐次方程组
的解一定是
的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
只有零解
只有零解;
有非零解
一定存在非零解;
35.设向量组
可由向量组
线性表示为:
题19结论)
)
其中
组线性无关
的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:
充分性:
反证法)
当
为方阵,可当作定理使用;
36.①、对矩阵
,存在
的列向量线性无关;
的行向量线性无关;
37.
线性相关
存在一组不全为0的数
,使得
成立;
(定义)
有非零解,即
,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
38.设
的矩阵
的秩为
元齐次线性方程组
的解集
的秩为:
39.若
的一个解,
的一个基础解系,则
线性无关;
题33结论)
5 相似矩阵和二次型
40.正交矩阵
或
(定义),性质:
的列向量都是单位向量,且两两正交,即
为正交矩阵,则
也为正交阵,且
正交阵,则
也是正交阵;
注意:
求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
41.施密特正交化:
;
42.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
43.①、
等价
经过初等变换得到
可逆;
同型;
合同
,其中可逆;
有相同的正、负惯性指数;
相似
44.相似一定合同、合同未必相似;
,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);
45.
为对称阵,则
为二次型矩阵;
46.
元二次型
为正定:
的正惯性指数为
合同,即存在可逆矩阵
的所有特征值均为正数;
的各阶顺序主子式均大于0;
(必要条件)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性代数 重要 公式