《新课标》高三数学人教版第一轮复习单元讲座 第39讲 排列组合二项式定理Word下载.docx
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考察形式:
单独的考题会以选择题、填空题的形式出现,属于中低难度的题目,排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小,属于高考题中的中低档题目;
预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及,出现选择填空的可能性较大,与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三.要点精讲
1.排列、组合、二项式知识相互关系表
2.两个基本原理
(1)分类计数原理中的分类;
(2)分步计数原理中的分步;
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3.排列
(1)排列定义,排列数
(2)排列数公式:
系
=
=n·
(n-1)…(n-m+1);
(3)全排列列:
=n!
;
(4)记住下列几个阶乘数:
1!
=1,2!
=2,3!
=6,4!
=24,5!
=120,6!
=720;
4.组合
(1)组合的定义,排列与组合的区别;
(2)组合数公式:
Cnm=
(3)组合数的性质
①Cnm=Cnn-m;
②
③rCnr=n·
Cn-1r-1;
④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n;
⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1;
5.二项式定理
(1)二项式展开公式:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn;
(2)通项公式:
二项式展开式中第k+1项的通项公式是:
Tk+1=Cnkan-kbk;
6.二项式的应用
(1)求某些多项式系数的和;
(2)证明一些简单的组合恒等式;
(3)证明整除性。
①求数的末位;
②数的整除性及求系数;
③简单多项式的整除问题;
(4)近似计算。
当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值:
①(1+x)n≈1+nx;
②(1+x)n≈1+nx+
x2;
(5)证明不等式。
四.典例解析
题型1:
计数原理
例1.完成下列选择题与填空题
(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。
A.81B.64C.24D.4
(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是()
(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,
①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;
②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有。
解析:
(1)完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行,是选用基本原理的关键。
将“投四封信”这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此:
N=3×
3×
3=34=81,故答案选A。
本题也可以这样分类完成,①四封信投入一个信箱中,有C31种投法;
②四封信投入两个信箱中,有C32(C41·
A22+C42·
C22)种投法;
③四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有C42·
A33种投法、,故共有C31+C32(C41·
A22+C42C22)+C42·
A33=81(种)。
故选A。
(2)因学生可同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将4名学生看作4个“店”,3项冠军看作“客”,每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家,即每个“客”有4种住宿法。
由分步计数原理得:
N=4×
4×
4=64。
故答案选B。
(3)①学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以类似
(1)可得N=34=81(种);
②竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4种不同学生,共有N=43=64(种);
③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛,每人参加一项,故共有C43·
A33=24(种)。
例2.(06江苏卷)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有 种不同的方法(用数字作答)。
本题考查排列组合的基本知识,由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有
。
点评:
分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。
题型2:
排列问题
例3.
(1)(06北京卷)在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有()
(A)36个(B)24个(C)18个(D)6个
(2)(06福建卷)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有()
(A)108种 (B)186种 (C)216种 (D)270种
(3)(06湖南卷)在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是()
A.6 B.12 C.18 D.24
(4)(06重庆卷)高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()
(A)1800(B)3600(C)4320(D)5040
(1)依题意,所选的三位数字有两种情况:
(1)3个数字都是奇数,有
种方法
(2)3个数字中有一个是奇数,有
,故共有
+
=24种方法,故选B;
(2)从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有
=186种,选B;
(3)先排列1,2,3,有
种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有
种方法,共有12种方法,选B;
(4)不同排法的种数为
=3600,故选B。
合理的应用排列的公式处理实际问题,首先应该进入排列问题的情景,想清楚我处理时应该如何去做。
例4.
(1)(06天津卷)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答);
(2)(06上海春)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).
(1)可以分情况讨论:
①若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成
个五位数;
②若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有
③若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有
=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个。
(2)分二步:
首尾必须播放公益广告的有A22种;
中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·
A44=48.从而应填48。
排列问题不可能解决所有问题,对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。
题型三:
组合问题
例5.
(1)(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有()
(A)30种 (B)90种(C)180种 (D)270种
(2)(06天津卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有
种方法,再将3组分到3个班,共有
种不同的分配方案,选B;
(2)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:
①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有
种方法;
②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有
则不同的放球方法有10种,选A。
计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础,应用计数原理结合
例6.
(1)(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种;
(2)(06全国II)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有()
(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种
(1)可以分情况讨论,①甲去,则乙不去,有
=480种选法;
②甲不去,乙去,有
③甲、乙都不去,有
=360种选法;
共有1320种不同的选派方案;
(2)人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有
=60种,若是1,1,3,则有
=90种,所以共有150种,选A。
排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题,诸如分组问题等;
题型4:
排列、组合的综合问题
例7.平面上给定10个点,任意三点不共线,由这10个点确定的直线中,无三条直线交于同一点(除原10点外),无两条直线互相平行。
求:
(1)这些直线所交成的点的个数(除原10点外)。
(2)这些直线交成多少个三角形。
解法一:
(1)由题设这10点所确定的直线是C102=45条。
这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点,由任意两条直线交一个点,共有C452个交点。
而在原来10点上有9条直线共点于此。
所以,在原来点上有10C92点被重复计数;
所以这些直线交成新的点是:
C452-10C92=630。
(2)这些直线所交成的三角形个数可如下求:
因为每个三角形对应着三个顶点,这三个点来自上述630个点或原来的10个点。
所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合,即C6403=43486080(个)。
解法二:
(1)如图对给定的10点中任取4个点,四点连成6条直线,这6条直线交3个新的点。
故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍,即这些直线新交成的点的个数是:
3C104=630。
(2)同解法一。
用排列、组合解决有关几何计算问题,除了应用排列、组合的各种方法与对策之外,还要考虑实际几何意义。
例8.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。
解设倾斜角为θ,由θ为锐角,得tanθ=-
>
0,即a、b异号。
(1)若c=0,a、b各有3种取法,排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0),故有3×
3-2=7(条);
(2)若c≠0,a有3种取法,b有3种取法
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