教辅高考数学之高考仿真模拟卷2Word格式文档下载.docx
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答案 A
解析 因为f
=sin
,所以f
=f
=log2
=1,解得a=
.故选A.
4.(2020·
大同一中高三一模)已知α∈
,tan(α-π)=-
,则sinα+cosα等于( )
A.±
B.-
D.-
解析 由题意得tan(α-π)=tanα=-
,又α∈
,所以α∈
,cosα<
0,sinα>
0,结合sin2α+cos2α=1,解得sinα=
,cosα=-
,所以sinα+cosα=
-
=-
,故选B.
5.(2020·
山东潍坊二模)在四面体ABCD中,△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形,已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上,且AD是该球的直径,则四面体ABCD的体积为( )
B.
解析 ∵AD是该球的直径,设球心为O,则O为AD的中点,∠ABD=∠ACD=90°
,∵AB=AC=BC=BD=CD=1,∴OB=OC=OD=
,BO⊥AD,BO⊥OC,∴BO⊥平面ACD,∴四面体ABCD的体积为VB-ACD=
×
S△ACD×
BO=
.故选B.
6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产.龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2(a3a5)的值为( )
A.8B.10
C.12D.16
答案 C
解析 依题意a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1016,又因为数列{an}是公比为2的等比数列,则
=1016,所以a1=8,所以a3a5=(a4)2=(8×
23)2=212,所以log2(a3a5)=log2212=12.
7.(2020·
河南开封高三二模)已知平行四边形ABCD中,AB=AD=2,∠DAB=60°
,对角线AC与BD相交于点O,点M是线段BC上一点,则
·
的最小值为( )
A.-
C.-
解析 如图所示,以BD的中点为坐标原点,以BD所在直线为x轴,以CA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-1,0),C(0,-
),所以直线BC的方程为y=-
x-
.设点M(x,-
)(-1≤x≤0),所以
=(x,-
),
x),所以
=x2+3x2+3x=4x2+3x=4
2-
,当x=-
时,
取到最小值-
8.(2020·
山东济南高三上学期期末)若F为双曲线C:
=1的左焦点,过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,则
的取值范围是( )
C.
解析 由双曲线C:
=1,得a=2,b=
,c=3,则左焦点F(-3,0),右焦点F′(3,0).因为过原点的直线l与双曲线C的两个交点A,B关于原点对称,所以|FA|=|F′B|.又根据双曲线的定义,得|FB|-|F′B|=2a,所以|FA|=|F′B|=|FB|-2a=|FB|-4,设|FB|=d,所以
.设f(d)=
,d≥5,则f′(d)=
.令f′(d)=0,解得d=
(舍去)或d=8,所以f(d)在[5,8)上单调递减,在(8,+∞)上单调递增,且当d→+∞时,f(d)→0-,所以f(d)max=f(5)=
,f(d)min=f(8)=
,所以f(d)的取值范围为
,则
的取值范围是
,故选D.
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.(2020·
山东泰安二轮复习质量检测)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;
某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:
cm)服从正态分布,其密度曲线函数为f(x)=
e-
,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是( )
A.该地水稻的平均株高为100cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:
cm)的概率一样大
答案 AC
解析 因为f(x)=
,故μ=100,σ2=100,故A正确,B错误;
因为P(x>
120)=P(x<
80)>
P(x<
70),故C正确;
根据正态分布的对称性,知P(100<
x<
110)=P(90<
100)>
P(80<
90),故D错误.故选AC.
10.(2020·
海南新高考诊断性测试)已知P是椭圆C:
+y2=1上的动点,Q是圆D:
(x+1)2+y2=
上的动点,则( )
A.C的焦距为
B.C的离心率为
C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为
答案 BC
解析 依题意可知c=
,则椭圆C的焦距为2
,离心率e=
.设P(x,y)(-
≤x≤
),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-
2+
≥
>
,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为
.故选BC.
11.(2020·
新高考卷Ⅰ)已知a>
0,b>
0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥
B.2a-b>
C.log2a+log2b≥-2D.
+
≤
答案 ABD
解析 对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2
,当且仅当a=b=
时,等号成立,故A正确;
对于B,a-b=2a-1>
-1,所以2a-b>
2-1=
,故B正确;
对于C,log2a+log2b=log2ab≤log2
2=log2
=-2,当且仅当a=b=
时,等号成立,故C不正确;
对于D,因为(
)2=1+2
≤1+a+b=2,所以
≤
时,等号成立,故D正确.故选ABD.
12.(2020·
山东烟台一模)关于函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是( )
A.当a=1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0
B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且-1<f(x0)<0
C.对任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点
D.存在a<0,使f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点
解析 对于A,当a=1时,f(x)=ex+sinx,f′(x)=ex+cosx,f(0)=1,f′(0)=2,∴所求切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0,故A正确;
对于B,当x∈(0,+∞)时,f′(x)=ex+cosx>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上无极值;
当x∈(-π,0]时,令g(x)=f′(x)=ex+cosx,则g′(x)=ex-sinx>0恒成立,∴g(x)在(-π,0]上单调递增,又f′
=e-
>0,f′
<0,∴存在x0∈
,使f′(x0)=ex0+cosx0=0,即ex0=-cosx0,∴f(x)极小值=f(x0)=ex0+sinx0=-cosx0+sinx0=
sin
,∵-
<x0<-
,∴-π<x0-
<-
,∴-
<sin
<0,∴-1<f(x0)<0,故B正确;
对于C,当a=
时,f(x)=ex+
,f′(x)=ex+
,当x∈(0,+∞)时,f′(x)=ex+
>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)>0,∴f(x)在(0,+∞)上不存在零点;
当x∈(-π,0]时,令h(x)=f′(x)=ex+
,则h′(x)=ex-
>0恒成立,∴h(x)在(-π,0]上单调递增,又h(-π)=f′(-π)=e-π-
>0,∴f(x)在(-π,0]上不存在零点,故C错误;
对于D,f(x)零点的个数可以转化为y=ex与y=-asinx图象的交点的个数问题,如图,显然存在a<0,使y=ex与y=-asinx的图象有一个交点,即f(x)有且只有一个零点,故D正确.故选ABD.
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020·
山东德州一模)某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组,单位:
人).
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,用分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a=________.
答案 30
解析 因为抽样比为
,所以结合题意可得
,解得a=30.
14.(2020·
山东潍坊高密一模)若
n的展开式的二项式系数之和是64,则n=________;
展开式中的常数项的值是________.
答案 6 135
解析 因为
n的展开式的二项式系数之和是64,则2n=64,解得n=6,所以
n的展开式中常数项的值是C
(3x)2·
4=135.
15.(2020·
长春吉大附中三模)已知函数f(x)=2ef′(e)·
lnx-
,则函数f(x)的极大值为________.
答案 2ln2
解析 f′(x)=
,故f′(e)=
,解得f′(e)=
,f(x)=2lnx-
,f′(x)=
,令f′(x)=0,解得x=2e,函数在(0,2e)上单调递增,在(2e,+∞)上单调递减,故f(x)的极大值为f(2e)=2ln2e-2=2ln2.
16.在棱长为1的透明密闭的正方形容器ABCD-A1B1C1D1中,装有容器总体积一半的水(不计容器壁的厚度),将该正方体容器绕BD1旋转,并始终保持BD1所在直线与水平平面平行,则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为________.
答案
解析 如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1B1上,点F在CD上,满足A1E=CF,则原问题等价于求解四边形BFD1E的面积最大值.作EG⊥BD1于点G,当EG最大时,四边形BFD1E面积的有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系,设E
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