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b),随机变量X满足P(a<
X≤b)=
φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
知识点三 3σ原则
1.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
(1)P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826;
(2)P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=0.9544;
(3)P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)=0.9974.
2.通常服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值.
类型一 正态曲线的图象的应用
例1 如图所示的是一个正态分布,试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式,求出随机变量总体期望和方差.
解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是
,
所以μ=20.由
,解得σ=
.
于是正态分布密度函数的解析式是:
x∈(-∞,+∞),随机变量总体的数学期望是μ=20,方差是σ2=(
)2=2.
反思与感悟 利用图象求正态分布密度函数的解析式,应抓住图象的两个实质性特点:
一是对称轴x=μ,一是最大值
.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入f(x)中便可求出相应的解析式.
跟踪训练1 设X~N(μ1,σ
),Y~N(μ2,σ
),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
解析 由题图可知μ1<
0<
μ2,σ1<
σ2,
∴P(Y≥μ2)<
P(Y≥μ1),故A错;
P(X≤σ2)>
P(X≤σ1),故B错;
当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t),
而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),
∴P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错.
类型二 利用正态分布的对称性求概率
例2 设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1<
X≤3);
(2)P(3<
X≤5);
(3)P(X>
5).
解 因为X~N(1,22),
所以μ=1,σ=2.
X≤3)=P(1-2<
X≤1+2)
=P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826.
(2)因为P(3<
X≤5)=P(-3≤X<
-1),
所以P(3<
X≤5)=
[P(-3<
X≤5)-P(-1<
X≤3)]
[P(1-4<
X≤1+4)-P(1-2<
X≤1+2)]
[P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)-P(μ-σ<
X≤μ+σ)]
×
(0.9544-0.6826)=0.1359.
5)=P(X≤-3)=
[1-P(-3<
X≤5)]=
[1-P(1-4<
X≤1+4)]=0.0228.
反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法:
由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:
①P(X<
a)=1-P(X≥a);
②P(X<
μ-a)=P(X>
μ+a).
(2)“3σ”法:
利用X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解.
跟踪训练2
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<
4)=0.8,则P(0<
ξ<
2)=( )
A.0.6B.0.4
C.0.3D.0.2
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<
4)=0.8,
∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,
∴P(0<
4)=0.6.∴P(0<
2)=0.3.故选C.
(2)设X~N(6,1),求P(4<
X≤5).
解 由已知得μ=6,σ=1.
∵P(5<
X≤7)=P(μ-σ<
P(4<
X≤8)=P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=0.9544.
如图,由正态分布的对称性知
x≤5)=P(7<
x≤8),
∴P(4<
x≤5)=
[P(4<
x≤8)-P(5<
x≤7)]
0.2718=0.1359.
类型三 正态分布的应用
例3 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),已知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.
解 由题可知μ=110,σ=20,
P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),
∵P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ)=2P(X-μ≤σ)+0.6826=1,
∴P(X-μ≤-σ)=0.1587,
∴P(X≥90)=1-P(X-μ≤-σ)
=1-0.1587=0.841.3.
∴54×
0.8413≈45(人),即及格人数约为45人.
∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ),
∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ)=0.6826+2P(X-μ≥σ)=1,
∴P(X-μ≥σ)=0.1587,即P(X≥130)=0.1587.
0.1587=9(人),即130分以上的人数约为9人.
反思与感悟 1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出;
2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
跟踪训练3 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52),质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个,测得它的外直径为5.7cm,该厂生产的这批零件是否合格?
解 由于X服从正态分布N(4,0.52),
由正态分布的性质,可知
正态分布N(4,0.52)在(4-3×
0.5,4+3×
0.5)之外的取值的概率只有0.003,
而5.70∉(2.5,5.5),
这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此可以认为该批零件是不合格的.
1.某市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),下列说法中正确的是( )
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
答案 A
解析 本题考查μ,σ的意义以及它们在正态曲线中的作用.由正态曲线的性质知,曲线的形状由参数σ确定,σ越大,曲线越矮胖;
σ越小,曲线越瘦高,且σ是标准差,故选A.
2.设X~N
,则X落在(-3.5,-0.5]内的概率是( )
A.95.44%B.99.74%
C.4.56%D.0.26%
答案 B
解析 由X~N
知,μ=-2,σ=
,则P(-3.5<
X≤-0.5)=P
=0.9974.
3.设随机变量X~N(1,22),则D
等于.
答案 1
解析 因为X~N(1,22),所以D(X)=4,
所以D
D(X)=
4=1.
4.如图是三个正态分布X~N(0,0.25),Y~N(0,1),Z~N(0,4)的密度曲线,则三个随机变量X,Y,Z对应曲线分别是图中的、、.
答案 ① ② ③
解析 在密度曲线中,σ越大,曲线越“矮胖”;
σ越小,曲线越“瘦高”.
5.设随机变量X~N(0,1),求P(X≤0),P(-2<
X<
2).
解 对称轴X=0,故P(X≤0)=0.5,
P(-2<
2)=P(0-2×
1<
0+2×
1)=0.9544.
1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质.
2.正态总体在某个区间内取值的概率求法:
(1)熟记P(μ-σ<
X≤μ+σ),P(μ-2σ<
X≤μ+2σ),P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)的值.
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.
a)=1-P(X≥a),P(X<
μ-a)=P(X≥μ+a),
若b<
μ,则P(X<
μ-b)=
一、选择题
1.正态曲线关于y轴对称,当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )
A.1B.-1
C.0D.不确定
解析 均值即为其对称轴,∴μ=0.
2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X<
4)=0.84,则P(X≤0)=( )
A.0.16B.0.32
C.0.68D.0.84
解析 由X~N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为直线x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<
4)=1-0.84=0.16.
3.如图所示的是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
A.σ1>
1>
σ2>
σ3>
B.0<
σ1<
σ2<
σ3
C.σ1>
D.0<
σ2=1<
答案 D
解析 当μ=0,σ=1时,正态曲线
在x=0处取最大值
,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,反之越“矮胖”.故选D.
4.若随机变量X的密度为
,X在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )
A.p1>
p2B.p1<
p2
C.p1=p2D.不确定
解析 由正态曲线的对称性及题意知:
μ=0,σ=1,所以曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.
5.对于总体密度曲线是函数
x∈R的图象的正态总体有以下问题:
①正态曲线关于直线x=μ对称;
②正态曲线关于直线x=σ对称;
③正态曲线与x轴一定不相交;
④正态曲线与x轴一定相交,其中正确的命题是( )
A.②④B.①④
C.①③D.②③
解析 利用正态函数图象的基本特征判断.
6.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<
2)等于( )
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