届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三二诊模拟考试数学理试题解析版Word格式.docx
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满足
的前2016项之和
A.1506B.1508C.1510D.1512
【答案】D
【解析】由题意,得
,则等差数列
的前2016项和
.故选D.
【点睛】本题考查等差数列的性质和前
项和公式的应用.在处理等差数列的有关运算时,利用一些性质(如:
等差数列
中,若
)进行处理,可减少运算量,提高解题速度.
4.给出下列四个命题:
①“若
为
的极值点,则
”的逆命题为真命题;
②“平面向量,
的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题
;
④命题“
,使得
”的否定是:
“
均有
”.
其中不正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【解析】对于命题①,由于
使得
,但
不是函数
的极值点,故命题不正确;
对于命题②,由于取
,虽有
成平角,故不充分,则命题②不正确;
对于命题③,由于
,则其否定
显然不正确,故命题③也不正确;
故应选答案C。
5.如图,已知平行四边形
中,
为线段
的中点,
B.2C.
D.1
,设
,以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立平面直角坐标系,
则
【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算.解决本题的技巧是合理利用
和等腰直角三角形建立平面直角坐标系,大大减少了平面向量的线性运算,巧妙地避开了干扰信息.
6.设
,则对任意实数a、b,若a+b≥0则( )
A.f(a)+f(b)≤0B.f(a)+f(b)≥0
C.f(a)﹣f(b)≤0D.f(a)﹣f(b)≥0
【答案】B
【解析】易知函数
为奇函数,且在
上单调递增,因为
.故选B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数
的单调性和奇偶性,进而利用性质进行比较大小,这是一种常见题型,要多总结,多积累.
7.定义
矩阵
,若
()
A.图象关于
中心对称B.图象关于直线
对称
C.在区间
上单调递增D.周期为
的奇函数
【解析】
当
时,
故函数在区间
上的最大值为1.故选C.
8.如图所示的流程图,若输出的结果是9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为()
A.17B.16C.15D.14
【解析】由程序框图,得
,即判断框中的横线上可以填入的最大整数为16.故选B.
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?
”其意思为:
“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?
”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第
天所织布的尺数为
的值为()
【解析】由题意女子每天织布数成等差数列,且
,由于
,且
。
所以
,应选答案B。
10.已知函数
的取值范围为()
【解析】由
,知
上的偶函数,
且当
为增函数,
故
等价于不等式
解得
的取值范围为
故选A.
点睛:
对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).
11.已知
,则曲线
为椭圆的概率是()
共有
种不同情况,其中可以满足“曲线
为椭圆”的有
三种情况,由古典概型的概率公式,得所求概率为
.故选D......................
12.已知定义在
上的函数
与其导函数
,则点
所在区域的面积为()
A.12B.6C.18D.9
由题意设
,故原不等式可化为
由于
,故当
,函数
单调递减,此时不等式可化为
故当
单调递增,此时不等式可化为
画出不等式组表示的区域如图,结合图形可算得该不等式组表示的区域的面积为
,应选答案A。
本题的难度非常大,主要有这样几个难点较难突破,其一是怎样依据题设条件构造函数;
其二是构造什么样的函数;
第三是如何表示不等式组代表的区域。
求解时先从题设中的条件入手构造出函数
,再借助已知与导数工具判定其单调性,然后将原不等式进行等价转化为不等式组,最后再画出不等式组表示的区域求出其面积使得问题获解。
二、填空题:
本题共4题,每小题5分,共20分
13.已知抛物线
的准线方程为
,则实数a的值为_______.
【答案】
【解析】将
化为
,由题意,得
.
14.设函数
是由
轴和曲线
及该曲线在点
处的切线所围成的封闭区域,则
在
上的最小值为___________.
【解析】当
则
所以曲线
及该曲线在点
处的切线为
区域
可作图如下
则根据线性规划的目标点的选取
,将其转化为可行域
内取一点
与定点
之间距离的平方与2的差的最小值,有可行域可知,定点
到直线
的距离为
,所以可行域
之间距离的平方与2的差的最小值
15.在区间
上随机地取两个数
,则事件“
”发生的概率为__________.
【解析】由题意画出事件“
”所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为
由几何概型概率公式有事件“
”的概率为
.
16.已知数列
的前
项和为
且
对一切
恒成立,则实数的取值范围是_________.
【解析】依题设,当
又∵当
,∴
.∴
∴
等价于
即
,∴
恒成立,
令
,∴当
或
取得最大值,
三、解答题:
(本题包括6小题,共70分。
要求写出证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a、b、c,
,△ABC的面积为
.
(1)求c的值;
(2)求cos(B﹣C)的值.
(1)7;
(2)
【解析】试题分析:
(1)先利用三角形的面积公式求出
,再由余弦定理进行求解;
(2)先由余弦定理求出
,再由同角三角函数基本关系式或正弦定理求出
,再利用两角差的余弦公式进行求解.
试题解析:
(1)∵
=
absinC=
×
sin
,解得:
a=5,
∴由余弦定理可得:
c=
=7
(2)∵由
(1)可得:
cosB=
又∵B∈(0,π),可得:
sinB=
∴cos(B﹣C)=cosBcos
+sinBsin
+
18.时下,租车已经成为新一代的流行词,租车自驾游也慢慢流行起来,某小
车租车点的收费标准是,不超过2天按照300元计算;
超过两天的部分每天收费标准为100元(不足1天的部分按1天计算).有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游(各租一车一次),设甲、乙不超过2天还车的概率分别为
2天以上且不超过3天还车的概率分别
两人租车时间都不会超过4天.
(1)求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望
(1)
(2)分布列见解析,
(1)由甲所付租车费用大于乙所付租车费用知可分为乙租车2天与乙租车3天两种情况,由此能求出所求概率;
(2)首先求得的所有可能取值,然后分别求出相应的概率,由此能求出的分布列与数学期望.
(1)因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用,
当乙租车2天内时,则甲租车3或4天,其概率为
当乙租车3天时,则甲租车4天,其概率为
则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为
............5分
(2)设甲,乙两个所付的费用之和为
可为600,700,800,900,1000,..................6分
............................8分
故的分布列为
600
700
800
900
1000
...............................................10分
故的期望为
........12分
考点:
1、概率;
2、离散型随机变量的分布列与期望.
19.如图1,在矩形AB
CD中,
,点
分别
在边
上,且
交
于点
.现将
沿
折起,
使得平面
平面
,得到图2.
(1)在图2中,求证:
(2)若点
是线段
上的一动点,问点
在什么位置时,二面角
的余弦值为
(1)见解析;
(2)见解析
(1)先证明
再证明
证明
从而可得
;
(2)建立直角坐标系,设
求出平面
、平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角
即可得出结论.
(Ⅰ)∵在矩形
∴在图2中,
.
又∵平面
,平面
依题意,
∥
,∴四边形
为平行四边形.
∴
,又∵
(Ⅱ)如图1,在
∵
如图,以点
为原点建立平面直角坐标系,则
平
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