届高考数学二轮复习理数 推理与证明学案含答案全国通用Word格式文档下载.docx

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（2）（2017·

山西省大同市灵丘豪洋中学模拟）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第15个图形中小正方形的个数是________．

答案　120

解析　∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n将等式进行累加得an＝

⇒a15＝120.

思维升华　归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

跟踪演练1　

（1）（2017届陕西省咸阳市二模）观察下列式子：

<

2，

＋

8，

根据以上规律，第n个不等式是__________________．

答案　

＋…＋

解析　不等式左边共有n项相加，第n项是

，不等式右边的数依次是

，…，

（2）用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；

现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．

答案　503　

解析　按拼图的规律，第1个图有白色地砖（3×

3－1）块，第2个图有白色地砖（3×

5－2）块，第3个图有白色地砖（3×

7－3）块，…，则第100个图中有白色地砖3×

201－100＝503（块）．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是

热点二　类比推理

1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．

2．类比推理的思维过程如下：

例2　

（1）（2017届江西省鹰潭市模拟）我们知道：

“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：

“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：

已知A（－1,0,0），B（1,0,0），则点集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（　　）

A．以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面

B．以A，B为焦点的椭球体

C．以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面

D．以上都不对

答案　C

解析　由特殊到特殊进行类比推理可得：

点集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面．故选C.

（2）若点P0（x0，y0）在椭圆

＝1（a>

b>

0）外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为

＝1.那么对于双曲线

－

0，b>

0），类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为__________________．

＝1

解析　设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P0（x0，y0），则过点P1，P2的切线的方程分别为

＝1，

＝1.因为P0（x0，y0）在这两条切线上，所以

＝1，这说明P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直线

＝1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为

＝1.

思维升华　类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．

跟踪演练2　

（1）（2017·

哈尔滨师范大学附属中学模拟）平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有

＝

；

空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有

解析　由题设可得

（其中θ是射线PL与平面PAB所成的角）．

（2）已知双曲正弦函数shx＝

和双曲余弦函数chx＝

与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________．

答案　ch（x－y）＝chxchy－shxshy（答案不唯一）

解析　chxchy－shxshy

·

（ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y）

（2ex－y＋2e－（x－y））

＝ch（x－y），

同理可得ch（x＋y）＝chxchy＋shxshy，

sh（x－y）＝shxchy－chxshy，

sh（x＋y）＝shxchy＋chxshy.

热点三　直接证明和间接证明

直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．

例3　已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点（

，an＋1）（n∈N*）在函数y＝x2＋1的图象上．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：

bn·

bn＋2<

b

（1）解　由已知得an＋1＝an＋1，

则an＋1－an＝1，又a1＝1，

所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．

故an＝1＋（n－1）×

1＝n.

（2）证明　由

（1）知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.

bn＝（bn－bn－1）＋…＋（b2－b1）＋b1

＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝

＝2n－1（n≥2）．

又b1＝1＝21－1，所以bn＝2n－1（n∈N*）．

因为bn·

bn＋2－b

＝（2n－1）（2n＋2－1）－（2n＋1－1）2

＝（22n＋2－2n＋2－2n＋1）－（22n＋2－2·

2n＋1＋1）

＝－2n<

0，

所以bn·

思维升华　

（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．

（2）综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用．

跟踪演练3　

（1）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

求证：

（2）已知f（x）＝ax＋

（a>

1），证明：

方程f（x）＝0没有负根．

证明　

（1）要证

即证

＝3，

也就是

只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），

需证c2＋a2＝ac＋b2，

又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°

由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°

即b2＝c2＋a2－ac，

故c2＋a2＝ac＋b2成立．

于是原等式成立．

（2）假设x0是f（x）＝0的负根，

则x0<

0，且x0≠－1，

＝－

所以0<

1⇒0<

1，

解得

x0<

2，这与x0<

0矛盾，故方程f（x）＝0没有负根．

热点四　数学归纳法

数学归纳法证明的步骤

（1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时结论成立；

（2）假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0）时结论成立，证明n＝k＋1时结论也成立．

由

（1）

（2）可知，对任意n≥n0，且n∈N*，结论都成立．

例4　（2017届江苏徐州等四市模拟）设n∈N*，f（n）＝3n＋7n－2.

（1）求f

（1），f

（2），f（3）的值；

（2）证明：

对任意正整数n，f（n）是8的倍数．

（1）解　代入求出f

（1）＝8，f

（2）＝56，f（3）＝368.

（2）证明　①当n＝1时，f

（1）＝8是8的倍数，命题成立．

②假设当n＝k时命题成立，

即f（k）＝3k＋7k－2是8的倍数，

那么当n＝k＋1时，

f（k＋1）＝3k＋1＋7k＋1－2＝3（3k＋7k－2）＋4（7k＋1），

因为7k＋1是偶数，所以4（7k＋1）是8的倍数，

又由归纳假设知3（3k＋7k－2）是8的倍数，

所以f（k＋1）是8的倍数，

所以当n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知命题对任意n∈N*成立．

思维升华　用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．难点在于寻求等式在n＝k和n＝k＋1时的联系．

跟踪演练4　（2017·

江苏省南通市模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝

，且f（n）＝

（1）计算f

（1），f

（2），f（3）的值；

（2）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

解　

（1）f

（1）＝S2＝1＋

f

（2）＝S4－S1＝

f（3）＝S6－S2＝

（2）由

（1）知，f

（1）>

1，f

（2）>

1.

下面用数学归纳法证明：

当n≥3时，f（n）<

①由

（1）知当n＝3时，f（n）<

②假设当n＝k（k≥3）时，f（n）<

即f（k）＝

那么f（k＋1）＝

1＋

＝1＋

＝1－

所以当n＝k＋1时，f（n）<

1也成立．

因此，当n≥3时，f（n）<

综上，当n＝1和n＝2时，f（n）>

1；

真题体验

1．（2017·

全国Ⅱ改编）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则可推断知道自己成绩的是____________．

答案　乙、丁

解析　由甲说：

“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；

丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；

甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．

2．（2016·

山东）观察下列等式：

－2＋

－2＝

×

1×

2；

－2