高考理科数学直线及其方程复习教案Word下载.docx
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(2)斜截式:
已知直线在轴上的截距b和斜率,则直线方程为__________,它不包括垂直于x轴的直线.
(3)两点式:
已知直线经过两点P1(x1,1),P2(x2,2)(其中x1≠x2,1≠2),则直线方程为________,它不包括垂直于坐标轴的直线.
(4)截距式:
已知直线在x轴和轴上的截距分别为a,b(其中a≠0,b≠0),则直线方程为____________,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
()一般式:
任何直线的方程均可写成______________的形式.
基础自测
1.直线x+3+1=0的倾斜角是( ).
A.π6B.π3.23πD.6π
2.已知A(3,1),B(-1,),(8,11)三点共线,则的取值是( ).
A.-6B.-7.-8D.-9
3.斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( ).
A.0°
<α<4°
B.4°
<α<90°
.90°
<α<13°
D.13°
<α<180°
4.直线l:
ax+-2-a=0在x轴和轴上的截距相等,则a的值是( ).
A.1B.-1.-2或-1D.-2或1
.若直线ax+b+=0经过第一、二、三象限,则有( ).
A.ab>0,b>0B.ab>0,b<0
.ab<0,b>0D.ab<0,b<0
思维拓展
1.如何正确理解直线的倾斜角与斜率的关系?
提示:
(1)所有的直线都有倾斜角,当直线与x轴垂直,即倾斜角为π2时,斜率不存在;
(2)直线倾斜角的范围为[0,π),因为正切函数在[0,π)上不单调,所以在研究斜率与倾斜角的关系时,可结合正切函数在0,π2∪π2,π的图像,对其在0,π2和π2,π上的变化情况分别讨论.
2.求直线方程时,应注意什么?
(1)因为点确定直线的位置,斜率确定直线的方向,所以求直线方程时可从寻求点的坐标或直线的斜率入手,再选择合适的形式写出直线的方程;
(2)有时也可先设出直线的方程,再利用待定系数法确定其中的参数.此时,一定要注意斜率不存在的情况.一、直线的倾斜角与斜率
【例1】已知A(-2,3),B(3,2),过点P(0,-2)的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的取值范围是__________.
方法提炼直线倾斜角的范围是[0,π),但这个区间不是正切函数的单调区间.因此在考虑倾斜角与斜率的关系时,要分0,π2与π2,π两种情况讨论.由正切函数图像可以看出,当α∈0,π2时,斜率∈[0,+∞);
当α=π2时,斜率不存在;
当α∈π2,π时,斜率∈(-∞,0).
请做[针对训练]1
二、求直线的方程
【例2】已知直线l过(2,1),(,3)两点,求直线l的方程.
方法提炼用待定系数法求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意所选方程的适用条.无论选择哪种直线方程的形式,最后结果都要化成一般式.
请做[针对训练]4
三、直线方程的应用
【例3-1】已知点A(2,)与点B(4,-7),试在轴上求一点P,使得|PA|+|PB|的值为最小.
【例3-2】已知两直线l1:
x+2=0,l2:
4x+3+=0及定点A(-1,-2),求过l1,l2的交点且与点A的距离等于1的直线l的方程.
方法提炼在求直线方程的过程中,若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题,一般要结合函数、不等式或利用对称加以解决.
请做[针对训练]考情分析
通过对近几年的高考试题的统计分析可以看出,对于直线方程的考查,一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式;
二是考查求直线的方程.从分析五种直线方程成立的条入手,确定相应的量是确定直线方程的关键.用待定系数法求直线方程时,要特别注意斜率不存在的情况.单独考查直线方程的题目较少,主要是以直线方程为载体,与其他知识相交汇进行综合考查.
针对训练
1.直线xsinα-+1=0的倾斜角的变化范围是( ).
A.0,π2B.(0,π).-π4,π4D.0,π4∪3π4,π
2.(2011东临沂模拟)直线xsθ+3+2=0的倾斜角的取值范围为__________.
3.(2011广东广州高三调研)已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+2-4x+3=0相切,切点在第四象限,则直线l的方程为__________.
4.若直线l过点P(-2,3),与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程.
.已知直线l过点P(3,2),且与x轴、轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△AB的面积的最小值及此时直线l的方程.
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1.
(1)①正向 向上 0°
②0°
≤α<180°
(2)①正切值 tanα 90°
②2-1x2-x1
2.
(1)-0=(x-x0) 垂直于x轴
(2)=x+b (3)-12-1=x-x1x2-x1
(4)xa+b=1 ()Ax+B+=0(其中A,B不同时为0)
1.D 解析:
∵直线的斜截式方程为=-33x-33,
∴其斜率为-33
∴其倾斜角为6π
2.B 解析:
∵A,B,三点共线,
∴-1-1-3=11-18-3
∴=-7
3.B 解析:
由tanα=2,结合正切函数在0,π2∪π2,π的图像,
易知4°
4.D 解析:
当直线l过原点时,则-2-a=0,即a=-2;
当直线l不过原点时,原方程可化为xa+2a+a+2=1,
由a+2a=a+2,得a=1
所以a的值为-2或1
.D 解析:
显然直线斜率存在,直线方程可化为=-abx-b,
因为直线过第一、二、三象限,
所以有-ab>0,-b>0,
即ab<0,b<0
考点探究突破
【例1】-2,43 解析:
如图,由斜率公式得AP=-2-30-(-2)=-2,BP=-2-20-3=43,
当直线l从与x轴平行位置绕P点逆时针旋转到直线PB位置但不与PB重合时满足题意,
其斜率l满足0≤<PB=43;
当直线l从AP位置(与AP不重合)绕P点逆时针旋转到与x轴平行的位置时,其斜率满足AP<<0,即-2<<0
综上所述的取值范围是-2<<43
【例2】解:
当=2时,直线l的方程为x=2;
当≠2时,直线l的方程为-13-1=x-2-2,即2x-(-2)+-6=0
因为=2时,方程2x-(-2)+-6=0,即为x=2,
所以直线l的方程为2x-(-2)+-6=0
【例3-1】解:
如图所示,先求出A点关于轴的对称点A′(-2,),
直线A′B的方程为+7+7=x-4-2-4,
化简为2x+-1=0
令x=0,得=1
故所求P点坐标为P(0,1).
【例3-2】解:
先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程,再根据“l与A点距离等于1”确定参数.过l1、l2交点的直线系方程是x+2+λ(4x+3+)=0,λ是参数.化为(1+4λ)x+3λ+(2+λ)=0①,由
|-1×
(1+4λ)+(-2)×
3λ+(2+λ)|(1+4λ)2+(3λ)2=1,
得λ=0代入方程①,得x+2=0因为直线系方程①中不包含l2,所以应检验l2是否也符合已知条.因A(-1,-2)到l2的距离为|-4-6+|42+32=1,l2也符合要求.
故直线l的方程为x+2=0和4x+3+=0
演练巩固提升
直线xsinα-+1=0的斜率是=sinα,
又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤≤1
当0≤≤1时,倾斜角的范围是0,π4;
当-1≤<0时,倾斜角的范围是3π4,π
2.0,π6∪6π,π 解析:
把直线方程化为斜截式=-33sθ&
#8226;
x-233,
则=-33sθ
∵-33≤≤33,
∴0≤α≤π6或6π≤α<π
3.=-33x 解析:
将圆的一般方程化为标准方程:
(x-2)2+2=1,圆心为(2,0),半径r=1,如图,经过原点的圆的切线的倾斜角为10°
,切线的斜率为tan10°
=-33,切线方程为=-33x4.解:
由题意知,直线l的斜率存在,设为,
则l的方程为-3=(x+2).
令x=0,得=2+3;
令=0,得x=-3-2,
则12&
|2+3|&
-3-2=4,
∴(2+3)3+2=±
8
若(2+3)3+2=8,化简得42+4+9=0,方程无解;
若(2+3)3+2=-8,化简得42+20+9=0,
解得=-92或-12
∴直线l的方程为-3=-92(x+2)或-3=-12(x+2),
即9x+2+12=0或x+2-4=0
.解:
解法一:
设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为xa+b=1
∵l过点P(3,2),
∴3a+2b=1,b=2aa-3
从而S△AB=12a&
b=12a&
2aa-3=a2a-3
故有S△AB=(a-3)2+6(a-3)+9a-3
=(a-3)+9a-3+6
≥2(a-3)&
9a-3+6=12,
当且仅当a-3=9a-3,
即a=6时,(S△AB)in=12,
此时b=2×
66-3=4
∴所求直线l的方程为x6+4=1,
即2x+3-12=0
解法二:
设直线方程为xa+b=1(a>0,b>0),
代入P(3,2),得3a+2b=1≥26ab,
得ab≥24,从而S△AB=12ab≥12,
当且仅当3a=2b时,等号成立,
此时=-ba=-23,
∴-2=-23(x-3),
∴所求直线l的方程为2x+3-12=0
解法三:
依题意知,直线l的斜率存在.
设直线l的方程为-2=(x-3)(<0),
则有A(3-2,0),B(0,2-3),
∴S△AB=12(2-3)3-2
=1212+(-9)+4(-)
≥1212+2(-9)&
4(-)
=12(12+12)=12,
当且仅当-9=4-,即=-23时,等号成立.
故所求直线l的方程为2x+3-12=0
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- 高考 理科 数学 直线 及其 方程 复习 教案