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;
=2(n≥2对于数列①,=)对于数列②,nnaan?
1n?
1a111n?
na)?
1(?
(;
n≥2对于数列③,)=·
a221?
n共同特点:
从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数
1.等比数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;
公比通常用字母q表示(q≠0),即:
aa?
nn?
1?
an?
N,{q}成等比数列(≠0=qq=q(≠0)naann?
1
1?
“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q,q≠0)
0且q?
0隐含:
任一项2?
n3?
q=1时,{a}为常数naa?
32a=2,=2;
(中,3)常数列a,a,a,...;
(1下面四个数列:
例1
(1),1,2,4,8,16,32,64;
2)在数列naa21a?
na=q;
其中是等比数列的有)在数列(4中,答案:
(4)nan?
1等比数列的通项公式2.
由等比数列的定义,有:
223qaa?
q?
qaqaq)a?
aq?
(?
aaq?
(aq)q?
a;
;
;
1143312112…………………
n?
1(a?
q0)a?
111n?
1a?
q(a?
0)——已知等比数列的首项和公比就可以得出任何一项;
)(111nn?
ma?
q——通项公式的推广式,则已知等比数列的任意两项就可以求出其他的任意一
(2)mn项
aam?
nnn?
qq?
——求公比q推广:
的方法m?
naamm(3)既是等差又是等比数列的数列:
非零常数列.
aaaaa...?
3n42n234===...=(4)等比定理:
q==aaaaa?
...a3121n?
n2?
113a和q5)等比数列基本量的求法:
是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可(1aaam?
1求出。
——q=;
mn?
aaammna1?
nxn1qa?
yq?
类似,可借助指数,(6)等比数列与指数函数:
,即与指数函数1nnq函数的图像和性质来研究
例2求下列各等比数列的通项公式:
aa=?
8
=?
2,
(1)312n?
1nn?
2(?
)a或?
2)(?
2)2qa?
4?
2)2?
2?
,解:
nn31aaa3=)?
=5,且2(2n1n?
1a33n?
11?
n)?
5?
又:
a解:
n12a2na?
18a?
9a?
1,求n(3)(答案;
n=6,),52n36
变式1:
求下面等比数列的第4项与第5项:
(1)5,-15,45,……;
(2)1.2,2.4,4.8,……;
2132,.,;
(4)2,1,)(3?
,…….
3282?
15n?
1aaaq=5·
(-==5-=)∵(解:
1q=3,∴3)n115.
34aa=405.
3)=5·
(-3=5·
(-)=-135,∴542.4n?
134aaaaaq=1.2×
2=19.2
(2)∵q=1.2×
2=9.6,=2,∴=1.2==1.2×
2∴=5n4112.13222311n?
?
=×
((3)∵q=)∴=n11433342332292743aa)=,==∴×
(=×
()54432432128112n?
1aaaq22?
2·
()∴===,==1(4)∵q÷
n1122n?
2
(2)1121?
aa.∴=454232)22)((14变式2:
一个等比数列的第,求它的第1项.9项是,公比是-3941a,q=解:
由题意得-=9934188aaaa=2916
∴(-),∴∵==,q9111933.等比数列的性质
aaaaa>
00<
q<
1,<
0,是递增数列;
当或0<
1,q>
0时,{或q>
1,
(1)单调性:
当}>
0n1111aaa}是摆动数列;
当q<
0时当q=1时,{,{}是常数列;
时,{是递减数列};
nnnaabb成等比数列,那么G应满足:
由,)等比中项:
如果在G与,中间插入一个数G,使(2GbGbG?
abG?
ab?
。
定义得,则,即:
反之,若aGaGG?
a,G,b,0?
成等比数列ab)由此可得:
(注意:
由上述公式也可看出异号的两个数没有等比中项,只有同号的才有
aa,特别地,若∈N),则m+n=2p,则(3)在等比数列中,若m+n=p+q(m,n,p,qqmpn2a?
aapmnaa...?
a推广:
13mn?
21nm?
2nn?
13?
naaa?
8aaa7?
aa22或,为等比数列,若(答案:
)=例3已知,求nnn312312
a42?
3a,a)168的前三项的和为,1变式:
等比数列,求的等比中项(答案:
n5275
0aa?
2aaa?
36a?
a的值(答案:
变式2,且6)已知:
为等比数列,若,求n55n243436
aa为常数)也为等比数列,其公比是(其中q
为等比数列,则数列(4)若数列nn?
bbaa?
t也是等比数列,其公比为为等比数列,为公比是t的等比数列,若数列则nnnn?
a也是等比数列,其公比为为等比数列,若数列?
naq?
a,a,a(k,m?
N)?
a为等比数列,则下标成等差数列且公差为)若数列m的项组(5kk?
mk?
2m,...nmq成了公比为的等比数列a,a,a(都为正整数)成等差数列,则成等比数列n,p推广:
m,pnm?
2kka)或qq(的等比数列,例如项的和(或积)构成公比为为等比数列,连续相邻k(6)若数列na?
...?
,...
,,,...;
,634?
2m32m?
m?
11mm?
252m2m2121?
algalgq的等差数列是公差为为各项都是正数的等比数列,数列(7)若数列nn4.判断一个数列为等比数列的方法
a为等比数列)N常数,n≥21()定义法:
,n∈=q(nan?
0aaa?
a为等比数列
(2)等比中项法,也称递推法:
N,)≥(n2,n∈nnn1n?
aaqa为等比数列(3)通项法:
为n的指数型函数,即nn1注意:
证明一个数列为等比数列只能通过定义法与等比中项法
01n?
1,...,1010,...,10,555求证:
(1)这个数列是等比数列;
4例:
已知无穷数列
(2)这个数列中的任一1项是其后第5项的10
2S?
nSaS(n?
a1,a1,2,3,...);
证明:
变式1:
1的前n项和记为,已知数列()?
nnnn1?
a4?
S是等比数列;
)(2nn?
aS2a?
(S?
a2?
n)2a?
项和记为n的前:
2变式数列,;
求数列,且的通项公式nnn1nn?
5.等比数列的设项方法
aNaq?
(n))通项法:
设数列的通项公式,即设=1(n1
(2)对称设:
主要针对有限项。
若所给等比数列为2n项,则可设为:
aaaa32n?
12aq,...,,,...,aq,,aqq;
,此数列的公比为32n2n?
3qqqqaaan?
1aq,aq,,...,...,,a,此数列的公差为q;
若所给等比数列为2n+1项,则可设为:
nnqqq(3)等差、等比数列综合运算问题。
例5:
有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中7545279)间两个数的和为18,求这四个数(答案:
3,6,12,18或,,,4444
变式:
有四个正数,前三个数成等差数列,和为48,后三个数成等比数列,积为8000,,求这四个数
6.等比数列应用题
aL(a?
1),从中取出1L,再用水加满,然后再取出例6:
有纯酒精1L,再用水加满,如此反复进行,问第九次和第十次共取出多少L纯酒精?
7.等比数列与等差数列的比较bk
等差数列
等比数列
定义
差
商
项
项没有限制
项必须非零
联系
aalg)正项等比数列为等差数列(1nn?
ab为等比数列为等差2()nn
ba满列7例:
已知足,数的等比数列数为是各项都正nn1?
bka?
a...?
lglgalg?
lga成等差数列?
若存在求出k,使得,问是否存在正数nnn112n?
n;
不存在说明理由
zxylog?
0log?
ac?
clog;
(1)若1:
已知a,b,c依次成等差数列且公差变式mmm不为0,求证x,y,z成等比数列;
(2)若x,y,z依次成等比数列,求证a,b,c成等差数列
SaS?
4a?
2(n?
1,2,...),a?
1;
已知项和,且中,是其前n2变式:
nn1nn?
baa?
2b?
的通项公式1)设,求数列(nn1nn?
nc?
c的通项公式)的条件下,设,求数列
(2)在(1nnn2?
Sa)的条件下,求数列的通项公式及(3)在(2nn
课堂检测
a1?
7135a?
q,则等于(1.已知等比数列)的公比na?
a3824611?
B.-3A.C.D.333a?
913aa,aa,0?
d等于(成等比数列,则是等差数列,公差,且2.已知)n913a?
a1042791113B.A.C.D.161616163.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于它后面两项的和,则其公比是()
51-55-12B.A.C.D.2225?
abb?
abaa?
4a=4.等比数列(中,,数列是等差数列,且),则n97n773511A.2B.4C.8D.16
aaaa?
3,aaa?
24,则aaa的值为()5.等比数列中,n11578106973D.192
C.144B.72A.48
baa,则有(6.等比数列满足的各项都是正数,等差数列)n6n7a?
ba?
a与b?
b的大小不确定A.D.C.B.10339109944310910434?
9aloga?
loga?
loga的值为中,若,则7.各项均为正数的等比数
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