74动态规划与离散系统最优控制Word文档格式.docx
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在CD段(首),(分析)阶段变量
;
在BC段(首),(分析)阶段变量
;
,
在AB段,阶段变量
所以整个过程的最优策略为:
,即最优路线为
。
穷举算法:
共有
个策略,每策略做
次加法
次加,有
次比较,
动态规划:
在
段,有3个加,2个比较运算,
在(
)~2段,有
加,
个比较运算,
在1段,无加,也无比较运算,
有
次加,
次比较(是N的线性)
确定最优策略;
2.离散系统最优控制
设
,(7.21)
指标
(7.22)
求
使(7.22)式最小.
常取
.
或
(半正定),
(正定).
意:
与
的各个分量上的权值,称为权矩阵。
实用
控制次序
公式推导
(i)时标在下标处,
(ii)
分离出来,权矩阵改记为S,
(iii)添常数项
(影响极值,但不影响极值点),
(7.23)
定理7.4系统(7.21),使指标(7.23)为最小的最优控制
其中:
(7.24)
证运用(7.20)式,最后一段的损失为
是
的二次型函数,
因
是正定的,
故必有唯一最小值,由多元极值的必要条件,得
由
正定,知其可逆,从而得
(7.25)
因此最后一段的最小损失为
(7.26)
由公式组(7.25)中第一个公式得
(7.27)
将(7.27)代入(7.26),经整理后,有
逆向第二段的最优化。
根据动态规划最优化原则,得
记
(7.28)
则最后二阶段的性能指标
与最后一段指标
类比,可得
其中
由(7.28)所确定,最后二段的最小损失值为
以此类推,可得公式组(7.24)。
推论若状态矩阵
是可逆的,则有
(7.29)
(证明略)。
(1)预先逆序计算
(从已知{Ф,Г}和{S,Q,R})
(2)然后顺序控制.
例7.9设一维
计算
、
和
解这里
由递推公式,得
逆向计算
表1
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1.03
2.39
3.51
4.11
4.36
4.46
4.49
4.52
11.75
21.99
30.32
4.83
36.74
37.47
37.74
37.83
37.87
37.88
顺向最优控制和最优状态如表2,
表2
5.98
3.58
2.14
1.28
0.76
0.46
.28
0.18
0.12
0.10
0.13
0.19
45.10
26.97
16.15
9.65
5.77
3.41
2.05
1.22
0.74
0.42
0.24
趋于常值.
定理.7.5若(7.21)完全能控,对于无限时间指标
必有
(7.30)
(证明略)
定值控制称为调节.
由此得到最优控制为最优调节,
最优调节器的表达式为
用(7.30)中F代
,所得的状态反馈控制
称为稳态最优调节器,F称为稳态最优反馈增益。
F的计算
(1)用计算机编程求得;
(2)据定理7.5极限的存在性,在(7.29)两边求极限
(7.31)
中解出F。
其中P为非负定。
(3)也可对公式组7.24的两边求极限而得。
例7.10例7.9中的指标改为
求稳态最优调节器。
解一维系统,由
故
满秩,系统完全能控,
由定理7.5稳态最优增益必存在。
各参数代入(7.31)得
整理为
求得
从而最优调节器为
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