微积分中不等式的证明技巧Word文档下载推荐.docx
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均单调,因此可积,且有
注意到
就有
.而
因此有
取
.
在区间
仿以上讨论,有
,
综上,有不等式
2、某些不等式的积分推广:
原理:
设函数
上可积.
为区间
的
等分分
法,
.若对任何
均有
即得
令
注意到函数
上可积,即得积分不等式
倘若函数
连续,还可由
例3、证明Schwarz不等式
(亦称为Cauchy–Буняковский不等式):
上连续(其实只要可积就可).则有不等式
证法一:
(由Cauchy不等式
Schwarz不等式.Cauchy不等式参阅
[1]上册P4Ex第10题:
设
为两组实数,则有
.)
等分分法.由Cauchy不等式,有
两端同乘以
有
、
上的可积性
以及函数
的连续性,就有积分不等式
证法二:
(用判别式法)对任何实数
,有
即
对任何实数
成立.
即上述关于
的二次不等式的解集为全体实数,于是就有
即
例4、
且
.证明不等式
取
.对函数
应用Schwarz不等式,即得所证.
例5、设函数
在区间[0,1]上可积.试证明有不等式
先用Jensen不等式法证明不等式:
对
有不等式
.(参阅上学期期末考试题第21题)
等分分法.由上述不等式,有
令
在区间[0,1]上的可积性以及函数
仿该例,可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式.例
如[1]P334—335Ex2,6,8.
二、面积函数的导数:
例6、求
例7、求
例8、求
例9、设
时函数
连续且
.求
.(
=
)
例10、设函数
.
解:
.两端求导,
例11、设
.试证明:
例12、设函数
上连续且
>
0.
试证明:
函数
内严格递增.
而
0,在
内
,又
连续,
,
在区间
0.因此
严格递增.
三、含有变限积分的未定型极限:
例13、求极限
.
(2)
四、定积分的计算:
例14、计算积分
例15、计算积分
时,
;
因此,
例16、利用积分
的值(参阅§
4例15或[1]P306E8),计算积分
而
因此,
例17、
求
(2
)[4]P215E62
例18、设
是区间
上连续的偶函数.试证明:
是
上的奇函数.
证法一:
证法二:
注意到
五、利用定积分求和式极限:
参阅[3]P162—168.
原理:
例19、求极限
.[3]P163E13.与§
1例2连系.
例20、求极限
由函数
在区间[0,1]上可积,有
例21、求极限
[3]P167E19
因此,
例22、试证明:
对任何
<
是函数
在区间[0,1]
上相应于
等分分法
的小和
.由函数
在区间[0,1]上可积,有
↗
.又易见
↗↗.
对任何
即
习题:
P309—3102,3,8—11;
P249—26020—24,41—43,48—51,54,58,63,64,65,
95,96⑶,97,98⑴,101,106,112,113.
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- 微积分 不等式 证明 技巧