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【讲练平台】
例1已知角的终边上一点P(-3,m),且sinθ=,求cosθ与tanθ的4
值.
例2已知集合E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tanθ<sinθ},求集
合E∩F.
θθθ例3设θ是第二象限角,且满足|sin|=-sin,是哪个象限的角?
222
【知能集成】
注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等;
已知角的终边上一点的坐标,求
三角函数值往往运用定义法;
注意运用三角函数线解决有关三角不等式.
【训练反馈】
α1.已知α是钝角,那么是()2
C.第一与第二象限角D.不小于直角的正角
2.角α的终边过点P(-4k,3k)(k<0},则cosα的值是()
A.3434B.C.-D.-5555
π3π5πππ5π∪(π,B.()∪(π,244424
π3π5π3πππ3π,)∪D.()∪(,π)24424243.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]()A.(C.(344.若sinx=-cosx=,则角2x的终边位置在()55
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2π5.若4π<α<6π,且α与-终边相同,则α=.3
6.角α终边在第三象限,则角2α终边在象限.
7.已知|tanx|=-tanx,则角x的集合为
8.如果θ是第三象限角,则cos(sinθ)²
sin(sinθ)的符号为什么?
9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积.
第2课同角三角函数的关系及诱导公式
【考点指津】
掌握同角三角函数的基本关系式:
sin2α+cos2α=1,sinα=tanα,tanαcotα=1,cosα
掌握正弦、余弦的诱导公式.能运用化归思想(即将含有较多三角函数名称问题化成含有较
少三角函数名称问题)解题.
【知识在线】
1.sin2150°
+sin2135°
+2sin210°
+cos2225°
的值是()
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13119A.B.C.D.4444
32.已知sin(π+α)=-()5
4343A.cosα=B.tanα=C.cosα=-D.sin(π-α)=5455
3.已tanα=3,4sinα-2cosα的值为.5cosα+3sinα
41+2sin(π-2)cos(π+2).
55.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=sin2θ等于()9
A.2222B.-C.D.-3333
sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)例1化简.cos(π-α)tan(3π-α)
ππ1例2若sinθcosθ=,θ∈(),求cosθ-sinθ的值.842
变式1条件同例,求cosθ+sinθ的值.
变式2已知cosθ-sinθ=-3,求sinθcosθ,sinθ+cosθ的值.2
例3已知tanθ=3.求cos2θ+sinθcosθ的值.
1.在三角式的化简,求值等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数.
2.注意1的作用:
如1=sin2θ+cos2θ.
3.要注意观察式子特征,关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子.
4.运用诱导公式,可将任意角的问题转化成锐角的问题.
1.sin600°
1133AB.-C.D.-2222
ππ2.α)sinα)的化简结果为()44
11A.cos2αB.cos2αC.sin2αD.sin2α22
13.已知x∈[0,π],则tanx的值是()5
34434A.-B.-C.±
D或-43343
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114.已知tanα=-,则=.32sinαcosα+cosα
5.1-2sin10°
cos10°
-1-cos170°
的值为.
1+2sinαcosα1+tanα6=.cosα-sinα1-tanα
2sinθ+cosθ7.已知-5,求3cos2θ+4sin2θ的值.sinθ-3cosθ
8.已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.
第3课两角和与两角差的三角函数
(一)
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能运用化归思想(将不同角化成同角等)解题.
1.cos105°
的值为()
A6+2622-6-6-2B.C.D.4444
π),sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是()22.对于任何α、β∈(0,
A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)<sinα+sinβ
C.sin(α+β)=sinα+sinβD.要以α、β的具体值而定
3π3.已知π<θsin2θ=a,则sinθ+cosθ等于()2
A.a+1B.-1C.a+1D.±
a+1
114.已知tanαtanβ=,则cot(α+2β)=.33
15.已知cos2x=.2
11例1已知sinα-sinβ=-,cosα-cosβ=,求cos(α-β)的值.32
例2求2cos10°
-sin20°
的值.cos20°
分析式中含有两个角,故需先化简.注意到10°
=30°
-20°
,由于30°
的三角函
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数值已知,则可将两个角化成一个角.
例3已知:
sin(α+β)=-2sinβ.求证:
tanα=3tan(α+β).
审题中,要善于观察已知式和欲求式的差异,注意角之间的关系;
整体思想是三角变换中常用的思想.
π341.已知0<α<<β<π,sinα=,cos(α+β)=-sinβ等于()255
242424A.0B.0或C.D.0或-252525
2.sin7°
+cos15°
sin8°
的值等于()cos7°
-sin15°
A.2+3B.2-32+3C.2-3D.22
3.△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为()
A.π5ππ5ππ2πB.C.或D.或666633
π1cosα的值是.634.若α是锐角,且sin(α-
π2π3π5.coscoscos777
116.已知tanθtanφ=,且θ、φ都是锐角.求证:
θ+φ=45°
.23
π3π447.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且(α-β)∈(,π),α+β∈(,25522
π),求cos2α、cos2β的值.
tanα118.已知sin(α+β)=sin(π+α-β)=.23tanβ
第4课两角和与两角差的三角函数
(二)
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;
能灵活运用和角、差角、倍角公式解题.
求下列各式的值
1.cos200°
cos80°
+cos110°
.
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12.(cos15°
+3sin15°
)=.2
3.化简1+2cos2θ-cos2θ.
4.cos(20°
+x)cos(25°
-x)-cos(70°
-x)sin(25°
-x)=.
115.-.1-tanθ1+tanθ
例1求下列各式的值
(1)tan10°
+tan50°
+3tan10°
tan50°
;
(tan12°
-3)csc12°
(2)4cos12°
-2
点评
(1)要注意公式的变形运用和逆向运用,注意公式tanA+tanB=tan(A+B)(1-
tanAtanB),asinx+bsinx=absin(x+φ)的运用;
(2)在三角变换中,切割化弦是常
用的变换方法.
1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ例2求证=.2tanθ1-tanθ
分析三角恒等式的证明可从一边开始,证得它等于另一边;
也可以分别从两边开始,
证得都等于同一个式子;
还可以先证得另一等式,从而推出需要证明的等式.
1+sin4θ-cos4θ2tanθ由欲证的等式可知,可先证等式=,此式的右边等于tan21+sin4θ+cos4θ1-tanθ
θ,而此式的左边出现了“1-cos4θ”和“1+cos4θ”,分别运用升幂公式可出现角2θ,
sin4θ用倍角公式可出现角2θ,从而等式可望得证.
证略
点评注意倍角公式cos2α=2cos2α-1,cos2α=1-2sin2α的变形公式:
①升幂公式
1-cos2α1+cos2α1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,②降幂公式sin2α=,cos2α=22
的运用;
三角恒等式证明的方法:
从一边推得另一边;
左右归一,先证其等价等于等式;
分
析法等.
π7πsin2x+sin2xtanx317π例3已知cos(+x)=,<x<,求451241-tanx
π点评
(1)注意两角和公式的逆用;
(2)注意特殊角与其三角函数值的关系,如1=tan4
等;
(3)注意化同角,将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+π.422
在三角变换中,要注意三角公式的逆用和变形运用,特别要注意如下公式:
tanA+tanB=tan(A+B)[1-tanAtanB];
asinx+bcosx=absin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用.
1.cos75°
的值等于()
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A.
2.a=6622B-C.-D.222222(sin17°
+cos17°
),b=2cos213°
-1,c=,则()22
A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<
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