人教A版必修5高二数学112 余弦定理 过关习题及答案Word格式.docx

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C.150°

D.30°

∵cosC=

=-

∴C=150°

3.在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于　　　　. 

120°

由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.

∴cosC=

∵0°

<

C<

180°

∴C=120°

4.（2015河南郑州高二期末,15）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=

sinC,B=30°

b=2,则边c=　　　　　. 

2

∵在△ABC中,sinA=

sinC,∴a=

c.

又B=30°

由余弦定理,得cosB=cos30°

=

解得c=2.

二、判断三角形形状

5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2

则△ABC是（　　）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

A

∵b+c=2ccos2

且2cos2

=1+cosA,

∴b+c=c（1+cosA）,即b=ccosA.

由余弦定理得b=c·

化简得a2+b2=c2,

∴△ABC是直角三角形.

6.在△ABC中,若sin2A+sin2B<

sin2C,则△ABC的形状是（　　）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.不能确定

由sin2A+sin2B<

sin2C,得a2+b2<

c2,

所以cosC=

0,

所以∠C为钝角,

即△ABC为钝角三角形.

7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2bcosC,试判断△ABC的形状.

解法一:

代入a=2bcosC,

得a=2b·

∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.

∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.

解法二:

根据正弦定理

=2R,

得a=2RsinA,b=2RsinB,

代入已知条件得2RsinA=4RsinBcosC,

即sinA=2sinBcosC,

∵A=π-（B+C）,∴sinA=sin（B+C）.

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.

∴sinBcosC-cosBsinC=0.∴sin（B-C）=0.

又-π<

B-C<

π,∴B-C=0,即B=C.

∴△ABC是等腰三角形.

三、正弦定理、余弦定理的综合应用

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=

a,2sinB=3sinC,则cosA的值为（　　）

A.-

B.

D.-

∵2sinB=3sinC,∴2b=3c.

又b-c=

∴a=2c,b=

∴cosA=

9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=

bc,sinC=2

sinB,则A=　　　　. 

∵sinC=2

sinB,

∴由正弦定理得c=2

b.

∵a2-b2=

bc,

∴A=

10.（2015山东威海高二期中,17）在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4acosB-bcosC=ccosB.

（1）求cosB的值;

（2）若ac=12,b=3

求a,c.

解:

（1）已知等式4acosB-bcosC=ccosB,利用正弦定理,得4sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB,

整理,得4sinAcosB=sin（B+C）,

即4sinAcosB=sinA,

∵sinA≠0,∴cosB=

（2）∵ac=12,b=3

cosB=

∴由b2=a2+c2-2accosB,

得a2+c2=24,

联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=2

（建议用时:

30分钟）

1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=

则sinB=（　　）

A.

D.

B

由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,

∴c=2,即B=C,

∴sinB=

2.（2015河北邯郸三校联考,3）在△ABC中,如果sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,那么cosC等于（　　）

B.-

C.-

D

由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4,

可设a=2k,b=3k,c=4k（k>

0）,

由余弦定理可得cosC=

故选D.

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°

c=

a,则（　　）

A.a>

b

B.a<

C.a=b

D.a与b的大小关系不能确定

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>

0,∴a2>

b2,∴a>

4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则

的值为（　　）

A.19B.14C.-18D.-19

cosB=

∴

=|

||

|cosB=7×

5×

=19.

5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2（B+C）<

sin2B+sin2C,则角A的取值范围为（　　）

C.

由题意得sin2A<

sin2B+sin2C,

再由正弦定理得a2<

b2+c2,即b2+c2-a2>

则cosA=

>

∵0<

A<

π,∴0<

又a为最大边,∴A>

因此得角A的取值范围是

6.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC的形状为　　　　　. 

等边三角形

∵2B=A+C,又A+B+C=180°

∴B=60°

又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60°

=a2+c2-ac,

∴有a2+c2-ac=ac,从而（a-c）2=0,

∴a=c,故△ABC为等边三角形.

7.（2015北京高考,12）在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则

=　　　　　. 

1

在△ABC中,由正弦定理知,

=2cosA·

=2cosA×

cosA,

再根据余弦定理,得cosA=

所以

=1.

8.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+accosB+abcosC的值为　　　　. 

由余弦定理得bccosA+accosB+abcosC=

9.在△ABC中,已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab,且2cosAsinB=sinC,试判定△ABC的形状.

由（a+b+c）（a+b-c）=3ab,

得（a+b）2-c2=3ab,

即a2+b2-c2=ab.

∴C=60°

∵A+B+C=180°

∴sinC=sin（A+B）.

又∵2cosAsinB=sinC,

∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,

∴sin（A-B）=0.

∵A,B均为△ABC的内角,∴A=B.

因此△ABC为等边三角形.

10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cosA=

求b.

由正弦定理得

=2cosA,

又a+c=10,∴a=4,c=6.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

得

∴b=4或b=5.

当b=4时,∵a=4,∴A=B.

又C=2A,且A+B+C=π,

与已知cosA=

矛盾,

不合题意,舍去.

当b=5时,满足题意,∴b=5.