压轴题冲关系列3数学Word文件下载.docx
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化为a2+b2=7(a-1)2,
又b2=a2-1,解得:
a=2,b=
.
∴椭圆C1方程为
=1.
(2)椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为
①若切线m垂直于x轴,则其方程为x=±
2,易求得|MN|=2
②若切线m不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+m.
将y=kx+m代人椭圆C1方程,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
∴Δ=48(4k2+3-m2)=0,即m2=4k2+3,(*)
记M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
将y=kx+m代人椭圆C2方程,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,
∴x1+x2=-
,x1x2=
,
∴|x1-x2|=
∴|MN|=
|x1-x2|=
=2
∵3+4k2≥3,
∴1<
1+
≤
即2
<
2
≤4
综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2
,4
].
2.(2015·
广西三市模拟)已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
=0相切.
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足
=t
(O为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数t的取值范围.
(1)由题意知,e=
所以e2=
,即a2=2b2.
又∵以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
=0相切,
∴b=
=1,则a2=2.
故椭圆C的方程为
+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在.
设AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,
解得k2<
且x1+x2=
∵
∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y).
当t=0时,不满足|
;
当t≠0时,解得x=
y=
∵点P在椭圆
+y2=1上,
∴
+2×
=2,
化简,得16k2=t2(1+2k2),
∵|
|x1-x2|<
化简,得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<
∴(1+k2)
∴(4k2-1)(14k2+13)>0,
解得k2>
即
k2<
∵16k2=t2(1+2k2),
∴t2=
=8-
∴-2<
t<
或
2,
∴实数取值范围为
∪
3.(2015·
四川宜宾二诊)已知函数f(x)=
(a,b∈R,a,b为常数),且y=f(x)在x=1处切线方程为y=x-1.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=f(ex),
①求g(x)的单调区间;
②设h(x)=
,k(x)=2h′(x)x2,求证:
当x>0时,k(x)<
(1)由题意知,f′(x)=
故f
(1)=ln(1+a)+b=0,
f′
(1)=
-[ln(1+a)+b]=1,
解得a=b=0.
(2)①g(x)=f(ex)=
,g′(x)=
则当x>1时,g′(x)<0,
当x<1时,g′(x)>0.
故g(x)的单调增区间是(-∞,1),
单调减区间是(1,+∞).
②证明:
h(x)=
h′(x)=
k(x)=2h′(x)x2=
由①知,当x>0时,
∈
设m(x)=1-2xlnx-2x,
m′(x)=-2lnx-4=-2(lnx+2),
故m(x)在
上单调递增,
在
上单调递减,
故m(x)max=m
=1+
且g(x)与m(x)不于同一点取等号,
故k(x)<
4.(2015·
河北石家庄二模)已知椭圆C:
=1(a>
b>
0)经过点
,离心率为
(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过坐标原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P
,求直线l的方程.
(1)由题意得
解得
所以椭圆C的方程是
(2)解法一:
设直线的方程设为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消去y,得
(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,
则有x1+x2=
Δ>
0⇒4k2+2>
t2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=
y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=k2
+kt
+t2=
因为以AB为直径的圆过坐标原点,
所以
·
=0⇒x1x2+y1y2=0.
x1x2+y1y2=
=0⇒5t2=4+4k2,
0⇒4k2+1>
t2⇒t<
或t>
又设A,B的中点为D(m,n),则
m=
n=
因为直线PD与直线l垂直,
所以kPD=-
得
当t=-
时,Δ>
0不成立.
当t=1时,k=±
所以直线l的方程为y=
x+1或y=-
x+1.
解法二:
设直线的l斜率为k,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为D(x0,y0),
所以k=
,x0=
,y0=
由题意
①-②,得
+(y1-y2)(y1+y2)=0⇒
=0⇒
+k
=0,
又因为直线PD与直线l垂直,
k=-1.
设直线l的方程设为y-y0=k(x-x0),
得y=kx+2k2+
(1+4k2)x2+4k(k2+1)x+(4k2+1)2-4=0,
x1+x2=2x0=-4k,
x1x2=
y1y2=k2
-2k2(4k2+1)+
=0.
⇒5(4k2+1)2=16(1+k2).
解得k=±
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