解析浙江省超级全能生届高三第一次联考数学试题Word文档下载推荐.docx
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(
为虚数单位),则复数z的模长等于()
B.
【答案】A
先化简复数z,利用模长公式即可求解.
【详解】化简易得
,故选A.
【点睛】本题考查复数的基本运算和概念,了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.
3.若实数
满足约束条件
则
的最大值为()
A.-2B.12
C.-4D.8
【答案】B
作出可行域,平移目标函数即可求解.
详解】如图中阴影部分所示(含边界),显然当目标函数
经过点
时有最大值12,故选B.
【点睛】本题考查线性规划,准确作出可行域是解答本题的关键.
4.在同一直角坐标系中,函数
,
且
)的图象可能是()
C.
【答案】D
本题考查函数的图象,以指数函数的底数
与1的大小分情况讨论,由指数函数图象与y轴的交点即可得出b的大小,从而能判断出二次函数图象的正误.
【详解】对
和
分类讨论,当
时,对应A,D:
由A选项中指数函数图象可知,
,A选项中二次函数图象不符,D选项符合;
当
时,对应B,C:
由指数函数图象可知,
,则B,C选项二次函数图象不符,均不正确,故选D.
【点睛】本题易错在于函数图象的分类,从指数函数分类易正确得到函数图象.
5.已知直线
,平面
满足
,则“
”是“
”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
根据面面垂直的判定定理进行判断.
【详解】当
时,
,则可知
;
反之当
与
中的
不一定平行,故选A.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面,则另一条也垂直于该平面.
6.已知随机变量
满足下列分布列,当
且不断增大时,()
1
2
增大,
增大
B.
减小,
减小
先增大后减小
D.
先减小后增大
由分布列可知,随机变量
服从二项分布,根据二项分布的期望、方差公式即可判断.
【详解】由题意可知,随机变量
满足二项分布,即
,易得
,所以当
且不断增大时,
先增大后减小.故选C.
【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差,会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.
7.已知双曲线
右焦点为
,左顶点为
,右支上存在点
,记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为
,且
,则双曲线的渐近线方程为()
根据题意依次求出
点的坐标,求出直线
的方程,联立渐近线求出点
的横坐标,利用向量关系即可得出关系式,进而可求出渐近线方程.
【详解】易知
,得直线
,联立渐近线
,得
,又
,所以双曲线的渐近线方程为
,故选D.
【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为
时,渐近线方程为
当双曲线的标准方程为
.
8.已知函数
,e是自然对数的底数,存在
A.当
零点个数可能有3个
B.当
零点个数可能有4个
C.当
D.当
首先将
的零点转化为两个图象的交点,利用以直代曲的思想可以将
等价为
,根据穿针引线画出草图,即可判断.
【详解】将
看成两个函数
的交点,利用以直代曲,可以将
等价看成
,利用“穿针引线”易知
时图象如图,所以当
时最多有两个交点,当
时最多有三个交点.故选C.
【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法
(1)直接求零点:
令
,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:
利用定理不仅要求函数在区间
上是连续不断的曲线,且
,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:
画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
9.三棱柱
中,
平面
,动点
在线段
上滑动(包含端点),记
所成角为
与平面
所成线面角为
,二面角
为
,则()
根据题意找出这三个角,分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值,将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.
【详解】过点
作
于
,过点
,连接
过点
.
所以
由
可知
位于
处等号成立),由
(当
为直角时,等号成立),故选B.
【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角,本题也可以直接用线线角最小角定理(线面角是最小的线线角)和线面角最大角定理(二面角是最大的线面角)判断.
10.已知函数
若函数
的零点个数为2,则()
由
,可知当
的图象可由
的图象沿
轴翻折,并向右平移2个单位长度,纵坐标变为原来的一半,即可作出函数
的图象,将
的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.
【详解】如图,可得
的图象.令
,当
时,不符合题意;
时,得
,若
,则满足
可得
若
,因左支已交于一点,则右支必然只能交于一点,当
时,因为
,所以在
上有两个交点,不合题意舍去,当
时,则需
解得
【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.
二、选择题:
本大题共7小題,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分。
把答案填在题中的横线上。
11.《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一种,成于公元一世纪左右书中对一些特殊的柱体、锥体有特定的命名。
例如,将长方体切制成两个一模一样的三角柱体称之为“堑堵”。
若某一个“哲堵”的三视图如图所示,则该柱体的外接球表面积是_________________。
【答案】
根据题意可知,该“堑堵”的外接球即为相应长方体的外接球,长方体的长宽高分别为2,1,1,即可求出外接球的半径.
【详解】由该“堑堵”的三视图可知其外接球即为相应长方体的外接球,长方体的长宽高分别为2,1,1,所以外接球直径
,则该柱体的外接球表面积
【点睛】本题考查三棱柱的外接球的表面积.长方体、正方体的外接球的直径即为体对角线.
12.已知
对任意
恒成立,则
__________;
_________________。
【答案】
(1).
(2).9
利用
将问题转化为二项式的问题,然后利用二项式的通项分别表示出即可求解.
【详解】令
∵
,故
,即
,解得
【点睛】本题考查二项式定理,二项展开式的项和系数的关系是易错点.
13.已知单位向量
夹角为60°
______________,
的最小值为_________.
(2).
利用定义求向量数量积,再根据模的平方求模
【详解】
的最小值为
【点睛】本题考查平面向量的数量积。
求向量的模:
利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①
②
③若
14.在
中点,若
________,
________________。
利用中线与向量的关系,即可求出
的值,然后利用余弦定理求出
的值,利用正弦定理即可求解.
中点可得,
所以
解得
,由余弦定理可得
由正弦定理可得
即
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,正弦定理
;
余弦定理
15.将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字组成没有重复数字的八位数,要求7与8相邻,且任意相邻两个数字奇偶不同,这样的八位数的个数是________。
【答案】504
根据题意分为两类,由于7与8相邻,所以先排1,2,3,4,5,6,再用插空法将“7,8”或“8,7”插入即可.
【详解】先将数字分成两类:
“奇偶奇偶奇偶奇偶”与“偶奇偶奇偶奇偶奇”.若是第一类,则1,2,3,4,5,6有
种排列,再将“7,8”或“8,7”插空进前后7个空位中去;
第二类同理,数量一样,故有
个.
【点睛】本题考查排列组合.对问题的正确分类是解答本题的关键,本题易错在分类情形的掌握.
16.设
是椭圆
一个焦点,点
,若椭圆上存在点
,则椭圆离心率的取值范围是_____________。
设椭圆上焦点为E,利用椭圆定义可得
,即可得
,若点
三点不共线即构成三角形,则
三点共线,则
,即可求出
的范围,进一步可求出离心率的范围.
【详解】设椭圆的上焦点
,由椭圆的定义可知
,以椭圆的离心率
【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质,涉及圆锥曲线上的点与焦点的距离问题往往利用定义解决.
17.已知数列
,满足
.若
的最小值是___________,若
,且存在常数
,使得任意
的取值范围是______________.
第一空:
将问题转化为函数问题,则
表示点
与原点连线的斜率,观察图象即可求解.第二空:
将问题转化为当
则
,结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.
(1)令
,
与原点连线的斜率,因为
,由于
最高点,所以
最小,等于
(2)当
时,显然存在;
时,由
,由
图象可知,使得任意
成立,则需
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- 解析 浙江省 超级 全能 生届高三 第一次 联考 数学试题