概率论与数理统计完整公式Word文档格式.docx
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为不可能事件。
不可能事件(Ø
)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;
同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
如果同时有
,
,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:
A
B,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可
表示为A-AB或者
,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:
B,或者AB。
B=Ø
,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为
。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率:
(7)概率的公理化定义
设
为样本空间,
为事件,对每一个事件
都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°
0≤P(A)≤1,
2°
P(Ω)=1
3°
对于两两互不相容的事件
,…有
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件
的概率。
(8)古典概型
设任一事件
,它是由
组成的,则有
P(A)=
=
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B
A时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时,P(
)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>
0,则称
为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1
P(
/A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>
0,则有
…
……
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件
、
满足
,则称事件
是相互独立的。
若事件
相互独立,且
,则有
相互独立,则可得到
与
也都相互独立。
必然事件
和不可能事件Ø
与任何事件都相互独立。
Ø
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概公式
两两互不相容,
则有
(16)贝叶斯公式
,…,
及
>
0,
1,2,…,
则
,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
,(
),通常叫先验概率。
),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
(17)伯努利概型
我们作了
次试验,且满足
◆每次试验只有两种可能结果,
发生或
不发生;
◆
次试验是重复进行的,即
发生的概率每次均一样;
◆每次试验是独立的,即每次试验
发生与否与其他次试验
发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为
重伯努利试验。
用
表示每次试验
发生的概率,则
发生的概率为
,用
表示
重伯努利试验中
出现
次的概率,
第二章随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量
的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量
的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出:
显然分布律应满足下列条件:
(1)
,
(2)
(2)连续型随机变量的分布密度
是随机变量
的分布函数,若存在非负函数
,对任意实数
,有
,
则称
为连续型随机变量。
称为
的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
(3)离散与连续型随机变量的关系
积分元
在连续型随机变量理论中所起的作用与
在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布函数
为随机变量,
是任意实数,则函数
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间
分布函数
表示随机变量落入区间(–∞,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
;
是单调不减的函数,即
时,有
4°
,即
是右连续的;
5°
对于离散型随机变量,
对于连续型随机变量,
。
(5)八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在
重贝努里试验中,设事件
事件
发生的次数是随机变量,设为
,则
可能取值为
,其中
则称随机变量
服从参数为
的二项分布。
记为
当
时,
,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量
的分布律为
的泊松分布,记为
或者P(
)。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。
几何分布
,其中p≥0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
均匀分布
的值只落在[a,b]内,其密度函数
在[a,b]上为常数
a≤x≤b
其他,
在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
0,x<
a,
1,x>
b。
当a≤x1<
x2≤b时,X落在区间(
)内的概率为
指数分布
0,
其中
,则称随机变量X服从参数为
的指数分布。
X的分布函数为
x<
0。
记住积分公式:
正态分布
的密度函数为
为常数,则称随机变量
的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为
具有如下性质:
的图形是关于
对称的;
当
为最大值;
若
的分布函数为
参数
时的正态分布称为标准正态分布,记为
,其密度函数记为
是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)=
如果
~
(6)分位数
下分位表:
上分位表:
(7)函数分布
离散型
已知
的分布列为
的分布列(
互不相等)如下:
若有某些
相等,则应将对应的
相加作为
连续型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)≤y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
第三章二维随机变量及其分布
(1)联合分布
如果二维随机向量
(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称
为离散型随机量。
=(X,Y)的所有可能取值为
,且事件{
}的概率为pij,,称
为
=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:
Y
X
y1
y2
yj
x1
p11
p12
p1j
x2
p21
p22
p2j
xi
pi1
这里pij具有下面两个性质:
(1)pij≥0(i,j=1,2,…);
(2)
对于二维随机向量
,如果存在非负函数
,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<
x<
b,c<
y<
d}有
为连续型随机向量;
并称f(x,y)为
=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1)f(x,y)≥0;
(2)
(2)二维随机变量的本质
(3)联合分布函数
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件
的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:
(2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即
当x2>
x1时,有F(x2,y)≥F(x1,y);
当y2>
y1时,有F(x,y2)≥F(x,y
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