高三二轮复习数学人教A版课时作业 专题3 数列 第2讲Word文档下载推荐.docx
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+f(x)(x∈R),且f
(1)=
,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()
A.305B.315
C.325D.335
[解析]∵f
(1)=
,f
(2)=
+
,
f(3)=
,…,
f(n)=
+f(n-1),
∴{f(n)}是以
为首项,
为公差的等差数列.
∴S20=20×
=335.
4.等差数列{an}中,a1>
0,公差d<
0,Sn为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是()
[答案]C
[解析]∵Sn=na1+
d,∴Sn=
n2+(a1-
)n,又a1>
0,所以点(n,Sn)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧.
[点评]可取特殊数列验证排除,如an=3-n.
5.(文)已知函数f(x)=log2x,等比数列{an}的首项a1>
0,公比q=2,若f(a2·
a4·
a6·
a8·
a10)=25,则2f(a1)+f(a2)+…+f(a2019)等于()
A.21004×
2019B.21005×
2019
C.21005×
2019D.21006×
[解析]f(a2·
a10)
=log2(a2·
a10)=log2(a
q25)=25,
即a
·
q25=225,
又a1>
0,q=2,故得到a1=1.
2f(a1)+f(a2)+…+f(a2019)=2f(a1)·
2f(a2)·
…·
2f(a2019)
=2log2a1·
2log2a2·
2log2a2019
=a1·
a2·
a2019=a
q1+2+…+2019
=12019×
2
=21006×
2019.故选D.
(理)已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=
.若函数f(x)=sin2x+2cos2
,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为()
A.0B.-9
C.9D.1
[解析]据已知得2an+1=an+an+2,即数列{an}为等差数列,又f(x)=sin2x+2×
=sin2x+1+cosx,因为a1+a9=a2+a8=…=2a5=π,故cosa1+cosa9=cosa2+cosa8=…=cosa5=0,又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π,故sin2a1+sin2a9=sin2a2+sin2a8=…=sin2a5=0,故数列{yn}的前9项之和为9,故选C.
6.(文)已知数列{an}的通项公式an=2019sin
,则a1+a2+…+a2019=()
A.2019B.2019
C.2019D.2019
[解析]数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=2019(sin
+sinπ+sin
+sin2π)=0,
又∵2019=4×
503+2,
∴a1+a2+…+a2019=a1+a2=2019sin
+2019sinπ=2019.
(理)已知an=
,数列{an}的前n项和为Sn,关于an及Sn的叙述正确的是()
A.an与Sn都有最大值
B.an与Sn都没有最大值
C.an与Sn都有最小值
D.an与Sn都没有最小值
[解析]画出an=
的图象,
点(n,an)为函数y=
图象上的一群孤立点,(
,0)为对称中心,S5最小,a5最小,a6最大
二、填空题
7.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(m).
[答案]2000
[解析]设放在第x个坑边,则
S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|)
由式子的对称性讨论,当x=10或11时,
S=2000.
当x=9或12时,S=20×
102=2040,…,当x=1或19时,S=3800.
∴Smin=2000(m).
8.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
[答案]50
[解析]∵a10a11+a9a12=2e5,∴a1·
a20=e5.
又∵lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)
=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]
=ln(e5)10=lne50=50.
注意等比数列性质:
若m+n=p+q,则am·
an=ap·
aq,对数的性质logamn=nlogam.
三、解答题
9.已知首项为
的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-
(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
[解析]
(1)设等比数列{an}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,
于是q2=
又{an}不是递减数列且a1=
,所以q=-
故等比数列{an}的通项公式为an=
(-
)n-1=(-1)n-1·
(2)由
(1)得
Sn=1-(-
)n=
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
所以1<
Sn≤S1=
,故
0<
Sn-
≤S1-
当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以
=S2≤Sn<
1,故
0>
≥S2-
=-
综上,对于n∈N*,总有-
≤Sn-
≤
所以数列{Tn}最大项的值为
,最小项的值为-
10.(文)在公差不为0的等差数列{an}中,a3+a10=15,且a2,a5,a11成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
+…+
,试比较bn+1与bn的大小,并说明理由.
[解析]
(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得
注意到d≠0,解得a1=2,d=1.
所以an=n+1.(n∈N+).
(2)由
(1)可知
bn=
,bn+1=
因为bn+1-bn=
>0,
所以bn+1>
bn.
(理)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=-
,求数列{n·
an}的前n项和Tn.
[解析]
(1)由已知得2S3=S1+S2,
∴2(a1+a2+a3)=a1+(a1+a2),
∴a2+2a3=0,an≠0,
∴1+2q=0,∴q=-
(2)∵a1-a3=a1(1-q2)=a1(1-
a1=-
∴a1=-2,∴an=(-2)·
)n-1=(-
)n-2,
∴nan=n(-
)n-2.
∴Tn=1·
)-1+2·
)0+3·
)1+…+n·
)n-2,①
∴-
Tn=1·
)0+2·
)1+3·
)2+…+n·
)n-1,②
①-②得
Tn=-2+[(-
)0+(-
)1+(-
)2+…+(-
)n-2]-n·
)n-1
-(-
)n-1(
+n),
∴Tn=-
n).
11.(文)设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f
(1),f(4),f(13)成等比数列,则f
(2)+f(4)+…+f(2n)等于()
A.n(2n+3)B.n(n+4)
C.2n(2n+3)D.2n(n+4)
[答案]A
[解析]设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×
(13k+1)⇒k=2,
f
(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×
2+1)+(2×
4+1)+(2×
6×
1)+…+(2×
2n+1)=2n2+3n.
(理)已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1、a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·
a25·
a48·
a49的值为()
B.9
C.±
9
D.35
[答案]B
[解析]∵{an}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,
∴a1·
a49=a
=3.而an>
0,∴a25=
=(
)5=9
,故选B.
12.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于()
A.160B.180
C.200D.220
[解析]∵a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78,
∴(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=60,
∴a1+a20=20,∴S20=
=10×
20=200.
13.阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是()
A.计算数列{2n-1}的前10项和
B.计算数列{2n-1}的前9项和
C.计算数列{2n-1}的前10项和
D.计算数列{2n-1}的前9项和
[解析]由框图结合k=10可知此框图进行了10次运算,结果为1+2+4+9+…+29,故选A.
14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a3=________.
[答案]
[解析]解法1:
∵S6=4S3,∴a4+a5+a6=3(a1+a2+a3)=(a1+a2+a3)q3,
∴q3=3,∴q=
,∴a3=a1q2=
解法2:
∵a1=1,S6=4S3,∴
∴1+q3=4,
15.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中Sn是数列{an}的前n项和,若a⊥b,则数列{
}的最大项的值为________.
[解析]∵a⊥b,∴a·
b=2Sn-n(n+1)=0,
∴Sn=
,∴an=n,
∴
,当n=2时,n+
取最小值4,此时
取到最大值
16.在△ABC中,角A、B、C的对应边分别是a、b、c,满足b2+c2=bc+a2.
(1)求角A的大小;
(2)已知等差数列{an}的公差不为零,若a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比数列,求{
}的前n项和Sn.
[解析]
(1)∵b2+c2-a2=bc,
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