高届文科数学一轮复习课件金太阳新考案第六单元三角函数与解三角形61三角函数的概念同角三角函数关Word文档格式.docx
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任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sinα= ,cosα= ,tanα=
(x≠0).
四
同角三角函数的基本关系
1.平方关系:
.
2.商数关系:
五
诱导公式
组数
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
+α
正弦
sinα
-sinα
余弦
cosα
-cosα
正切
tanα
-tanα
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变,符号看象限
在线反馈
一、1.
(1)一条射线 图形
(2)正角 负角 零角
三、y x
四、1.sin2α+cos2α=1 2.
=tanα
五、cosα cosα sinα -sinα
1已知点P(sinα,cosα)在第二象限,则角α的终边在( ).
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【试题解析】由题意得
所以角α的终边在第四象限,故选D.
【参考答案】D
2已知α∈
且sinα=-
则cosα等于( ).
A.-
B.
C.-
D.
【试题解析】
=
∵α∈
∴cosα<0,∴cosα=-
故选C.
【参考答案】C
3已知tan(2019π+α)=
则
等于( ).
A.-2B.
D.-
【试题解析】因为tan(2019π+α)=tanα=
所以
=-
故选D.
4已知在半径为120mm的圆上,有一段弧长是144mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为 rad.
【试题解析】由题意知,α=
=1.2rad.
【参考答案】1.2
题型一
【例1】已知角α的终边经过点P(x,-
)(x≠0),且cosα=
x,则
sinα+
= .
【试题解析】∵P(x,-
)(x≠0),
∴点P到原点的距离r=
.
又cosα=
x,∴cosα=
x.
∵x≠0,∴x=±
∴r=
当x=
时,
sinα+
×
+
;
当x=-
【参考答案】-
先判定点P所在的象限,再确定r,最后根据定义求解.
【追踪训练1】
(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P
则sinα·
tanα=( ).
B.±
D.±
(2)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0,则角θ的终边一定落在( ).
(1)由|OP|2=
+y2=1(O为坐标原点),
得y2=
y=±
当y=
时,sinα=
tanα=-
此时,sinα·
tanα=-
当y=-
时,sinα=-
tanα=
综上,sinα·
(2)由sinθ<0知θ的终边在第三、四象限或y轴负半轴上.由tanθ<0知θ的终边在第二、四象限.故选D.
【参考答案】
(1)C
(2)D
题型二
扇形的弧长、面积公式的应用
【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.
(1)若α=
R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.
(2)若扇形的周长为4,则当α为多少弧度时,该扇形的面积最大?
(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,
则l=
10=
S弓=S扇-S△=
10-
102×
sin
=50
(2)扇形的周长为2R+l=2R+αR=4,∴R=
∴S扇=
αR2=
α·
≤1.
当且仅当α=
即α=2时,扇形面积取得最大值1.
理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.
【追踪训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
【试题解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r(0<r<10).
∴扇形的面积S=
(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.
∴当r=5时,S取得最大值25,
此时l=10,α=
=2rad.
∴当α=2rad时,扇形的面积取得最大值.
题型三
同角三角函数基本关系式的应用
【例3】在△ABC中,sinA+cosA=
(1)求sinAcosA的值;
(2)求tanA的值.
(1)∵sinA+cosA=
①
∴两边平方得1+2sinAcosA=
∴sinAcosA=-
(2)由
(1)得sinAcosA=-
<0,
又0<A<π,∴cosA<0.
∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1+
又sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0,
∴sinA-cosA=
. ②
由①②可得sinA=
cosA=-
∴tanA=
应用公式时注意方程思想的应用.对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±
cosα)2=1±
2sinαcosα,可以知一求二.
【追踪训练3】
(1)已知sinαcosα=
且
<α<
则cosα-sinα的值为( ).
(2)若tanα=
则cos2α+2sin2α=( ).
A.
C.1D.
(1)∵
∴cosα<0,sinα<0且cosα>sinα,
∴cosα-sinα>0.
又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×
∴cosα-sinα=
则cos2α+2sin2α=
(1)B
(2)A
题型四
三角函数的诱导公式的应用
【例4】已知sinα,
是方程5x2-12x-9=0的两根.
(1)求cos
和sin
的值;
(2)若3π<α<
求
的值.
【试题解析】∵sinα,
是方程5x2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,
∴sinα=-
=3,∴cos
(1)cos
=cos
=-cos
sin
=sin
(2)∵3π<α<
∴α是第三象限角.
∵sinα=-
∴cosα=-
=-1-cosα
熟练运用诱导公式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.
【追踪训练4】已知f
(1)求f
(2)若f(x)=
求sin
+cos
【试题解析】f
=-cosx·
tanx=-sinx.
(1)令
+x=-
则x=-
∴f
=-sin
(2)∵f(x)=-sin
∴sin
-cos
=2sin
方法一
数形结合思想在三角函数线中的应用
当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,若没有给出具体的角度,则用图形可以更直观地表示,因此,先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.
【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin
cos
tan
的大小.
【试题解析】∵θ是第二象限角,
∴
+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,
+kπ<
+kπ,k∈Z,
是第一象限角或第三象限角.
如图,结合单位圆上的三角函数线可得,
①当
是第一象限角时,
=AB,cos
=OA,tan
=CT,
故cos
<sin
<tan
②当
是第三象限角时,
=EF,cos
=OE,tan
故sin
<cos
综上可得,当
在第一象限时,cos
当
在第三象限时,sin
方法二
分类讨论思想在三角函数化简中的应用
角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式时,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.
【突破训练2】求sin
(n∈Z)的值.
【试题解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则
原式=sin
+sin
=0;
当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则
-sin
=0.
1.(2018山东模拟)给出下列四个命题:
①-
是第二象限角;
②
是第三象限角;
③-400°
是第四象限角;
④-315°
是第一象限角.
其中真命题有( ).
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【试题解析】-
是第三象限角,故①错误.
=π+
从而
是第三象限角,②正确.-400°
=-3
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