届高考数学第一轮立体几何专项复习平面与平面的位置关系.docx
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届高考数学第一轮立体几何专项复习平面与平面的位置关系
2012届高考数学第一轮立体几何专项复习:
平面与平面的位置关系
124平面与平面的位置关系
第1时 两平面平行的判定及性质
【时目标】 1.理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义.2.掌握两个平面平行的判定和性质定理,并能运用其解决一些具体问题.
1.平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有________________都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符号表示为________________________.
2.平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,________________________.
符号表示为:
________________ͤa∥b.
3.面面平行的其他性质:
(1)两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于________________,即α∥βa⊂αͤ
________,可用证明线面平行;
(2)夹在两个平行平面间的平行线段________;
(3)平行于同一平面的两个平面________.
一、填空题
1.平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a、b的位置关系是__________.
2.下列各命题中假命题有________个.
①平行于同一直线的两个平面平行;
②平行于同一平面的两个平面平行;
③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交;
④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行,则α∥β.
3.过正方体ABD-A1B11D1的三个顶点A1、1、B的平面与底面ABD所在平面的交线为l,则l与A11的位置关系是________.
4.α和β是两个不重合的平面,在下列条中,可判定α∥β的是________.(填序号)
①α内有无数条直线平行于β;
②α内不共线三点到β的距离相等;
③l、是平面α内的直线,且l∥α,∥β;
④l、是异面直线且l∥α,∥α,l∥α,∥β.
.已知α∥β且α与β间的距离为d,直线a与α相交于点A、与β相交于B,若AB=233d,则直线a与α所成的角等于________.
6.如图所示,P是三角形AB所在平面外一点,平面α∥平面AB,α分别交线段PA、PB、P于A′、B′、′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′′∶S△AB=________.7.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是________(填序号).
①a∥b∥ͤa∥b; ②a∥γb∥γͤa∥b;
③α∥β∥ͤα∥β;④α∥γβ∥γͤα∥β;
⑤α∥a∥ͤα∥a;⑥α∥γa∥γͤa∥α.
8.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线与α,β分别交于点A,,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,A=9,PD=8,则BD的长为________.
9.如图所示,在正方体ABD—A1B11D1中,E、F、G、H分别是棱1、1D1、D1D、D的中点,N是B的中点,点在四边形EFGH及其内部运动,则满足________时,有N∥平面B1BDD1.
二、解答题
10.如图所示,在正方体ABD-A1B11D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是B、D和S的中点.求证:
平面EFG∥平面BDD1B1.
11.如图,在三棱柱AB-A1B11中,是A11的中点,平面AB1∥平面B1N,A∩平面B1N=N.
求证:
N为A的中点.
能力提升
12.如图所示,已知正方体ABD-A1B11D1中,面对角线AB1,B1上分别有两点E、F,且B1E=1F.求证:
EF∥平面ABD.
13.如图所示,B为△AD所在平面外一点,,N,G分别为△AB,△ABD,△BD的重心.
(1)求证平面NG∥平面AD;
(2)求S△NG∶S△AD.
1.判定平面与平面平行的常用方法有:
(1)利用定义,证明两个平面没有公共点,常用反证法.
(2)利用判定定理.(3)利用平行平面的传递性,即α∥β,β∥γ,则α∥γ.
2.平面与平面平行主要有以下性质:
(1)面面平行的性质定理.
(2)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面.(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.
1.2.4 平面与平面的位置关系
第1时 两平面平行的判定及性质
答案
知识梳理
1.两条相交直线
a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥βͤα∥β
2.那么所得的两条交线平行 α∥βα∩γ=aβ∩γ=b
3.
(1)另一个平面 a∥β
(2)相等 (3)平行
作业设计
1.平行或异面 2.2
3.平行
解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的.
4.④ .60°
6.4∶2
解析 面α∥面AB,面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,同理B′′∥B,
易得△AB∽△A′B′′,
S△A′B′′∶S△AB=(A′B′AB)2=(PA′PA)2=42.
7.②③⑤⑥
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.
8.24或24
解析 当P点在平面α和平面β之间时,由三角形相似可求得BD=24,当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD=24.
9.∈线段FH
解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1,
HN∩HF=H,BD∩DD1=D,
∴平面NHF∥平面B1BDD1,
故线段FH上任意点与N连结,
有N∥平面B1BDD1.
10.证明 如图所示,连结SB,SD,
∵F、G分别是D、S的中点,
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,
∴直线FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1,
又∵EG⊂平面EFG,
FG⊂平面EFG,
EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
11.证明 ∵平面AB1∥平面B1N,
平面A1A1∩平面AB1=A,
平面B1N∩平面A1A1=1N,
∴1N∥A,又A∥A11,
∴四边形AN1为平行四边形,
∴AN綊1=12A11=12A,
∴N为A的中点.
12.证明 方法一 过E、F分别作AB、B的垂线,E、FN分别交AB、B于、N,连结N.
∵BB1⊥平面ABD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥B,∴E∥BB1,FN∥BB1,
∴E∥FN,
∵AB1=B1,B1E=1F,
∴AE=BF,
又∠B1AB=∠1B=4°,
∴Rt△AE≌Rt△BNF,
∴E=FN.
∴四边形NFE是平行四边形,
∴EF∥N.
又N⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,
∴EF∥平面ABD.
方法二 过E作EG∥AB交BB1于G,连结GF,
∴B1EB1A=B1GB1B,B1E=1F,B1A=1B,∴1F1B=B1GB1B,
∴FG∥B11∥B.
又∵EG∩FG=G,AB∩B=B,
∴平面EFG∥平面ABD.
又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面ABD.
13.
(1)证明
(1)连结B,BN,BG并延长分别交A,AD,D于P,F,H.
∵,N,G分别为△AB,△ABD,△BD的重心,则有BP=BNNF=BGGH=2,
且P,H,F分别为A,D,AD的中点.
连结PF,FH,PH,有N∥PF.
又PF⊂平面AD,N⊄平面AD,
∴N∥平面AD.
同理G∥平面AD,G∩N=,
∴平面NG∥平面AD.
(2)解 由
(1)可知GPH=BGBH=23,
∴G=23PH.
又PH=12AD,∴G=13AD.
同理NG=13A,N=13D.
∴△NG∽△AD,其相似比为1∶3.
∴S△NG∶S△AD=1∶9.
第2时 两平面垂直的判定
【时目标】 1.掌握二面角、二面角的平面角的概念,会求简单的二面角的大小.2.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理判定两个平面垂直.
1.二面角:
一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.______________叫做二面角的棱.________________叫做二面角的面.二面角α的范围为________________.
2.平面与平面的垂直
①定义:
如果两个平面所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直.
②面面垂直的判定定理
字语言:
如果一个平面经过另一个平面的一条______,那么这两个平面互相垂直.符号表示:
l⊥α ͤα⊥β.
一、填空题
1.下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是________(填序号).
2.若平面α与平面β不垂直,那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条.
3.设有直线、n和平面α、β,则下列结论中正确的是________(填序号).
①若∥n,n⊥β,⊂α,则α⊥β;
②若⊥n,α∩β=,n⊂α,则α⊥β;
③若⊥α,n⊥β,⊥n,则α⊥β.
4.过两点与一个已知平面垂直的平面有________个.
.在边长为1的菱形ABD中,∠AB=60°,把菱形沿对角线A折起,使折起后BD=32,则二面角B-A-D的大小为________.
6.在正四面体P-AB中,D、E、F分别是AB、B、A的中点,下面四个结论中成立的是________(填序号).
①B∥面PDF;②DF⊥面PAE;
③面PDF⊥面AB;④面PAE⊥面AB.
7.过正方形ABD的顶点A作线段AP⊥平面ABD,且AP=AB,则平面ABP与平面DP所成的二面角的度数是________.
8.如图所示,已知PA⊥矩形ABD所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.9.已知α、β是两个不同的平面,、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:
①⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④⊥α.
以其中三个论断作为条,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
____________.
二、解答题
10.如图所示,在空间四边形ABD中,AB=B,D=DA,E、F、G分别为D、DA和对角线A的中点.
求证:
平面BEF⊥平面BGD.
11.如图所示,四棱锥P—ABD的底面ABD是边长为1的菱形,∠BD=60°,E是D的中点,PA⊥底面ABD,PA=3.
(1)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小.
能力提升
12.如图,在直三棱柱AB—A1B11中,E、F分别是A1B、A1的中点,点D在B11上,A1D⊥B1.
求证:
(1)EF∥平面AB;
(2)平面A1FD⊥平面BB11.
13.如图,在三棱锥P—AB中,PA⊥底面AB,PA=AB,∠AB=60°,∠BA=90°,点D、E分别在棱PB、P上,且DE∥B.
(1)求证:
B⊥平面PA.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?
并说明理由.
1.证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三
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