放缩法技巧全总结非常精辟是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华文档格式.docx
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1)2n1
(7)2(n
1n)
Jn
(9)1
k(n1
k)n
1k
(10)n
2(n
(n1)!
(6)1
n2
n1)(8)
齐Tn(n1k)
(11)
(12)
n3
(13)
2n122
(14)
(15)
(3
1)(2n1)
1)(2n2)
n(n1)(n1)
33(2
1)2
k!
(k1)!
(k2)!
(k1)!
(k2)!
2n1
nTT
(21)(2
1—
3
2n(2niT~2
(2n~3)2n
1_
T~k
TH■
21
.yn1
(15)
Jn(n1)
nn1(n
i21
i
j21
(i
22
ij
■2丿2j)(i21-j2
j211
例2.
(1)求证:
1丄丄
3252
(2n1)2
71
62^(n
2)
⑵求证:
丄丄丄
41636
11丄
4n224n
11n-n-
2:
2
⑶求证:
113
224
135
13
5
(2n1)
\7vonAA
246
46
2nii
(4)求证:
11)1
解析:
(1)因为1
11
1所以
(2n1)2(2n
22n
111
(2)_
(1
~2
4n
4
(3)先运用分式放缩法证明出
24
6
⑷首先1
2(2n11)
1111
2(3
2n1)12(32n1)
i1(2i1)
(11)
4n
1,再结合
进行裂项,最后就可以得到答案
n2•n
n1'
2,所以容易经过裂项得到
1-n
1)1
./n
22
r,(2n12n1
值不等式知道这是显然成立的,所以
例3.求证:
6n
(n1)(2n
11)
一方面:
因为
4n21
2n"
另一方面:
,当
(n1)(2n1)
当n2时,_
(n
n—„-n
2■,
_1n(n
1时,
丄,所以综上有
例4.(2008
年全国一卷
设函数
f(x)xxlnx.数列
满足0a,1.a„1f(an).设b(a,),整数k》日1b.证
a,lnb
ak1ak
b,否则若am
b(m
k),则由0a1amb1知
amInam
a1lnama1lnb
0,
ak1
ak
kk
alnaaalna,因为alnak(alnb)
kk~mmmm1
m1m1
于是ak1
a1k|a1lnb|
a1
(b
aj
b
是递增数列,故存在正整数mk,使amb,则
由数学归纳法可以证明
例5.已知n,m
N,x
1,S1m2m
3m
nm,求证:
nm1(m1)Sn(n1)m11.
首先可以证明
:
(1x)n
1nx
nn(n
1)(n
1)m1(n2)
m1
m1m1m
10[k(k1)
k1
1]所以要证
nm1(m1)Sn
(n1)m1
〔只要证:
[km1(k1)m1](m
1)km
(n1)m11
1)m1nm1nm1(n1)m1
2m11m1[(k1)m1km1]
故只
要证n[km1(k1)m1]
(m1)km
[(k
1)m1km1],即等价于
m1m
k(k1)
1m
(m1)k
(k
1)m
1km,即等价于
(1丄广1,1m1k
1、m1'
k)
而正是成立的
,所以原命题成立.
例6.已知a
—I
2n,
,求证:
t
T3
in
a1a2
T
41
42
43
4n(2122
2n)
4(1
4n)
A~
2(1~2
Z(4n
2(1
Tn
■4
(4n1)2(12n)
2n1
(22n
%
32n
从而t
例7.已知x,
1,
Xn
n(n2k
1(n
1,k
2k,k
Z),求证:
Z)
4X2nX2n
1)(nN*)
证明:
1
4x2nX2n14(2n1)(2n1)
44n22n
nn1,所以
4■
*X2nX2n1
-2(mn)
4X2X34x4X5
4X2nX2n1
二、函数放缩
例8.求证:
巴2ln3
ln4
ln3n
3n
5n
6(nN
).
先构造函数有
Inx
Inx
X
1,从而
ln2
~2~
ln3
"
3~
ln4
一3n
9
8
7
3^
53
3n1
66
18
27
23n1
所以ln2
ln3
ln3n
3n1
5n3
n5n
xJ1
例9.求证
(1)
2,
ln2ln3
lnn
2n2
n1/
23
2(n
构造函数
f(X)
lnx,得
寻至UInnInn
2,再进;
行裂项.
lnn2
丄1
1,求和后可以得到答案
nn2
函数构造形式
:
ln:
XX
1,lnnn
1(
例10.求
证:
ln(n
提示:
In(n1)In_1n
nn1
lnn1
Inn
In2
函数构造形式:
||彳1
Inxx,Inx1
x
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数
1f(x)
首先:
S
SABCF
1,从而,1i
ix
|nxini
i)
取i1有,1
1)'
In2,
In3
In2,…
In(n
1),
In(n1)
另一方面
[,从而有1
ix
iniInn
In(n1)'
所以有In(n1)1
1,所以综上有
例11.求证:
(11)(1
2!
3!
)
e和(1
1.
9)(181)
32
n)e-
构造函数后即可证明
例12.求证:
(112)
23)
[1
n(n1)]
e2n3
ln[n(n1)1]
23,叠加之后就可以得到答案
n(n1)1
所以f(x)
f
(2)0,所以ln(x1)
x2,令xn21有,Inn2
所以inn口所以兰
厂3
In3In4
乜』(nN*,n1)
例14.已知a
1,an1
n)an
1证明
尹
an1
2^)a
然后两边取自然对数,可以得到
lnan1
ln(1
)Ina
*1)23(x0)1ln(1x)3%。
)(加强命题)
x1xx1
例13.证明
n(n
(nN*,n1)
45
f(x)
ln(x1)
(x1)
1(x
1),求导,可以得到:
f(x)
12
x,令f'
(x)
0有1
2,令f'
(x)0有x2,
x1x
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