用线性规划问题的最优解在边界上简解高考题高考数学考点分类解析Word格式文档下载.docx

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图2（请把图中的“

”分别改为“

”）

直线

过原点且不与直线

不重合，再由图2可知本题的可行域是三角形区域（若是图2中的某一块无限区域，则z无最大值）.又直线2x－y=2与直线

交于点

，再由以上结论（3），得

是最优解且直线

过点A，所以

题3（2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题）已知x，y满足约束条件

当目标函数z＝ax＋by（a>

0，b>

0）在该约束条件下取到最小值2

时，a2＋b2的最小值为（）

A．5B．4C.

D．2

解B.易知可行域是一个凸角（即其大小小于平角），且角的顶点是（2,1）（即方程组

的解）.

由以上结论（3），得（2,1）是最优解，所以

接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式求得答案.

题4（2014年高考全国课标卷I文科第11题）设x，y满足约束条件

且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝（）

A．－5B．3C．－5或3D．5或－3

解B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是

（即方程组

由以上结论（3），得

是最优解，所以

a＝3或－5

因为题设中是“最小值为7”（不是“最大值或最小值为7”），所以还须检验：

当a＝3时，可得“最小值为7”；

当a＝－5时，可得“最大值为7”.所以a＝3.

题5（2014年高考安徽卷理科第5题）x，y满足约束条件

若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A.

或－1B．2或

C．2或1D．2或－1

解D.先作出可行域是图3中的

图3（请去掉图中过原点的直线）

由题设及结论

（2）知，初始直线

与

的某一条边平行，得

或

或2.因为题设中是“最大值的最优解”，所以还须检验，…….

题6（2014年高考浙江卷理科第13题）当实数x，y满足

时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．

解

.先作出可行域是图4中的

题设即

，由以上结论（3），得

，即

图4（请去掉图中的两条虚线，并标上点

的坐标

）

题7（2013年高考浙江卷理科第13题）设z=kx+y，其中实数x，y满足

若z的最大值为12，则实数k=．

解2.先作出可行域是图5中的

（其中

），得以下三种情形：

（1）若在点

处取到最大值，得

，这不可能！

（2）若在点

，经检验知，这也不可能！

（3）若在点

，经检验知，符合题意！

所以

图5

题8（北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷（高三数学（理科）第8题）设

为不等式组

表示的平面区域，点

为坐标平面

内一点，若对于区域

内的任一点

，都有

成立，则

的最大值等于（）

A.2B.1C.0D.3

解A.先作出平面区域

为图6中的

图6

题设即：

对于区域

上的任一点

成立.其充要条件是

的顶点

的坐标均满足

，由此可得

的最大值是2（这也是一个线性规划问题）.

注由此解法，还可得出

的取值范围是

.建议把题目中的“区域

内”改为“区域

上”，若是“区域

内”，则所求最大值不存在，只能得到

.用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题

高考题（2015年高考全国卷I理科第12题）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<

1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<

0，则a的取值范围是（　）

B.

C.

D.

解法1（数形结合法）D.令g（x）＝ex（2x－1），得g′（x）＝ex（2x＋1）.

由g′（x）>

0得x>

－

，由g′（x）<

0得x<

，所以函数g（x）在

上分别是减函数、增函数．

又函数g（x）在x<

时g（x）<

0，在x>

时g（x）>

0，所以其大致图象如图1所示．

直线y＝ax－a过点（1，0）．

若a≤0，则f（x）<

0的整数解有无穷多个，因此只能a>

0.

结合函数图象可知，存在唯一的整数x0，使得f（x0）<

0，即存在唯一的整数x0，使得点（x0，ax0－a）在点（x0，g（x0））的上方，得x0只能是0，所以实数a应满足

即

解得

≤a<

1.

即实数a的取值范围是

解法2（分离常数法）D.令

后，得题设即关于t的不等式

有唯一的整数解.

若

，由a<

1，可得

所以题设即关于t的不等式

有唯一的整数解，也即关于t的不等式

设

，得

，所以函数

在

上是增函数，得最大值为

又

，由此可作出函数

的图象如图2所示：

图2

注意到图象

过点

且

，所以由图2可得：

当

时，满足

的整数t有

，所以此时不满足题意.

的整数t只有

，所以此时满足题意.

得所求a的取值范围是

解法3（排除法）D.当

时，不等式f（x）<

0即ex（2x－1）<

0也即

，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.

令g（x）＝ex（2x－1），得g′（x）＝ex（2x＋1）.

又g′（0）＝1，所以可得曲线

在点

处的切线为

，如图3所示．

图3

所以当a<

1且

时满足题设（此时满足题设的唯一整数x0=0）.由此可排除选项C.

所以选D.

注小题不大做，还是解法3（排除法）简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.

例谈用验证法解题

——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解

题1解方程：

（1）

；

（2）

（3）

解

（1）容易观察出

均是该方程的解.

按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验（舍去使原方程中分母为零的解），所以原方程最多有两个解.

而已经找到了原方程的两个解

，所以这两个解就是原方程的所有解.

（2）同理，可得原方程的所有解是

（3）容易观察出

同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解

（因为对于任意的非零实数

，

和

都是原方程的解，所以应当把

理解成原方程的两个解），所以这两个解就是原方程的所有解.

题2解方程

解设函数

，易知它是增函数，所以方程

至多有一个根（当2在函数

的值域中时有一个根，否则没有根），……所以原方程的根是

题3已知

，求

解由

及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：

或

该方程组即

因为关于

的一元二次方程

最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，……所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解，……

题4

（2007年高考陕西卷理科第22

（1）题）已知各项全不为零的数列

的前

项和为

，且

N*），其中

，求数列

的通项公式.

解由题设得

，所以当

确定时，

也唯一确定.所以由

知，数列

是唯一确定的.

可以观察出

满足题设的所有条件，所以数列

是满足题设的唯一数列，得

另解

因为

①

由题设得

，再由①知

是唯一确定的数列

.再同上得

题5

（2005年高考江苏卷第23

（1）

（2）题）设数列

，已知

为常数.

（1）求

的值；

（2）证明数列

为等差数列；

解

（1）

（2）

N*），

②

是唯一确定的数列，

也是唯一确定的数列.

又由

知，若

为等差数列，则

，于是

容易验证

满足②，所以题中的

为等差数.

题6

已知数列

满足

解首先，由首项

及递推关系

知，满足题意的数列

是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.

易得

（k是常数）满足递推关系

，再由

满足题目的所有条件，所以本题的答案就是

题7

解易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.

是非零常数），即

满足递推关系

注因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.

对于要求解的问题

，若能证明它最多有

是确定的正整数）个解，又找出了它的

个解

，则这

个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：

题8（2010·

安徽·

理·

20）设数列

中的每一项都不为0.证明

为等差数列的充分必要条件是：

对任何

N*，都有

证明先证必要性.若数列

是公差为

的等差数列：

时，易得欲证成立.

时，有

再证充分性.只需对

用数学归纳法证明加强的结论：

恒成立，则

成等差数列，且

时成立：

时，得

，所以

成等差数列，还可证

（因为由

可得

，而由

时成立立知

假设

由

时均成立及

知，当

确定时，数列

也是确定的，而由必要性的证明知，由

确定的等差数列

满足题设，所以由题设及

确定的数列就是这个等差数列，即

成等差数列，同上还可证

时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.

参考文献

1甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008（3）：

46

2甘志国著.初等数学研究（II）上[M].哈尔滨：

哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题

高考题（