高三福建省四校届高三数学第一次联合考试试题理含答案.docx
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高三福建省四校届高三数学第一次联合考试试题理含答案
福建省四校2017届高三数学第一次联合考试试题理
第I卷
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)若集合
,
,则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)设i为虚数单位,
为纯虚数,则实数a的值为()
(A)-1(B)1(C)-2(D)2
(3)设
是等差数列
的前n项和,
,则
(
)
(A)2(B)3(C)5(D)7
(4)某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即
,试卷满分
分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的
,则此次数学考试成绩在100分到
110分之间的人数约为()
(A)400(B)500(C)600(D)800
(5)设点
是双曲线
的右焦点,点
到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为
,则双曲
线的渐近线方程为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)函数
的大致图象如图,则函数
的图象可能是( )
(8)已知
满足
,若目标函数
的最大值为13,
则实数
的值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)执行如图所示的程序框图,若输出的值为-5,
则判断框中可以填入的条件为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(10)已知椭圆
的上下左右顶点分别为
,且左右焦点为
,且以
为直径的圆内切于菱形
,则椭圆的离心率
为()
(A
)
(B)
(C)
(D)
(11)四棱锥
的底面
为正方形,
底面
,
,若该四棱锥的所有顶点都在体积为
的同一球面上,则
( )
(A)3 (B)
(C)
(D)
(12)已知函数
的一条对称轴为
,且
则
的最小值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
第II卷
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分。
(13)已知在边长为2的等边
中,D是BC中点,
,则
.
(14)在
的二项展开式中,
的项的系数是.(用数字作答)
(15)设
是等比数列
的前n项和,
,
,
,且
对任意正整数n恒成立,则m的取值范围是.
(16)已知函数
,则不等式
的解集为_______.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小
题满分12分)
在△ABC中,角
的对边分别为
,且
成等比数列,
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若
,求
的值.
(18)(本小题满分12分)
如图,几何体EF﹣ABCD中
,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(Ⅰ)求证:
AC⊥FB
(Ⅱ)求二面角E﹣FB﹣C的大小.
(19)(本小题满分12分)
某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。
现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表:
售出水量x(单位:
箱)
7
6
6
5
6
收益y(单位:
元)
165
142
148
125
150
(Ⅰ)若x与y成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元?
(Ⅱ)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:
特困生考入年级前200名,获一等奖学金500元;考入年级201—500名,获二等奖学金300元;考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。
甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为
,获二等奖学金的概率均为
,不获得奖学金的概率均为
.
⑴在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率;
⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望。
附:
,
。
(20)(本小题满分12分)
已知点
,
其中
是曲线
上的两点,
,
两点在
轴上的射影分别为点
,
,且
.
(I)当点
的坐标为
时,求直线
的斜率;
(II)记
的面积为
,梯形
的面积为
,求证:
.
(21)(本小题满分12分)
已知函数
.
(Ⅰ)当
时,求
的极值;
(Ⅱ)当
时,讨论
的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的
都有
,求实数
的取值范围.
请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图所示,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.
(I)证明:
A,P,O,M四点共圆;
(II)求∠OAM+∠APM的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
平面直角坐标系
中,曲线
.直线
经过点
,且倾斜角为
.以
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(I)写出曲线
的极坐标方程与直线
的参数方程;
(II)若直线
与曲线
相交于
两点,且
,求实数
的值.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数
.
(I
)当
时,求不等式
的解集;
(II)若不等式
对任意实数
恒成立,求
的取值范围.
永春一中培元中学
季延中学石光中学
2017届高三年毕业班第一次联合考试答案(理科数学)
一、选择题:
(共12小题,每小题5分)
(1)D
(2)A(3)C(4)A(5)B(6)C
(7)D(8)A(9)D(10)D(11)B(12)C
二、填空题(共4小题,每小题5分)
(13)-1(14)70(15)
(16)
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)因为
成等比数列,所以
……………………………………1分
由正弦定理可得
……………………………………2分
所以
……………………………………3分
……………5分
………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由
得
知
……………………………7分
由
得
…………………………………………………8分
所以
…………………………………………………9分
由余弦定理得
得
…………………………………………10分
即
…………………………………………11分
解得
……………………………………………………………12分
(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:
由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,
∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC,……………………………………2分
∵四边形CDEF为正方形.∴DC⊥FC
由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥AC……………………4分
又∵四边形ABCD为直角梯形,
AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4
∴
,
,则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC
由BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,∴AC⊥FB.……………………6分
(Ⅱ)解:
由(I)知AD,DC,DE所在直线相互垂直,故以D为原点,
以
的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所
示的空间直角坐标系D-xyz…………………………………7分
可得D(0,0,0),F(0,2,2),B(2,4,0),
E(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0),
由(Ⅰ)知平面FCB的法向量为
∵
,
……………………………………………………8分
设平面EFB的法向量为
则有
即
令
则
……………………………………………………………………10分
设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ,有图易知
为锐角
所以二面角E﹣FB﹣C的大小为
……………………………………………………12分
(19)(本小题满分12分)
解:
(I)
,
…………………1分
,
…………………………………………3分
当
时,
即某天售出8箱水的预计收益是186元。
……………………………………………………4分
(Ⅱ)⑴设事件 A 为“学生甲获得奖学金”,事件 B 为“学生甲获得一等奖学金”,则
即学生甲获得奖学金的条件下,获得一等奖学金的概率为
………………………………6分
⑵ X的取值可能为0,300,500,6
00,800,1000………………………………………………7分
,
,
,
,
即
的分布列为:
…………………10分
(元)………12分
(20)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)因为
,所以
代入
,得到
…………………1分
又
,所以
,所以
…………………2分
代入
,得到
…………………3分
所以
…………………4分
(Ⅱ)法一:
设直线
的方程为
.
则
…………………6分
由
得
所以
…………………8分
所以
…………………10分
又
,所以
,所以
,
因为
,所以
所以
.…………………12分
法二:
设直线
的方程为
.
由
得
所以
…………………6分
点
到直线
的距离为
所以
…………8分
所以
…………………10分
又
,所以
因为
,所以
所以
…………………12分
(21)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)当
时,
,定义域为
,
的导函数
.
当
时,
,
在
上是减函数;
当
时,
,
在
上是增函数.
∴当
时,
取得极小值为
,无极大值.……………3分
(Ⅱ)当
时,
的定义域为
,
的导函数为
.………………5分
由
得
,
,
.…………6分
(1)当
时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数;
(2)当
时,
在
上是减
函数;
(3)当
时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数……8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当
时,
在
上是减函数.
∴
.………………………10分
∵对于任意的
都有
,
∴
对任意
恒成立,
∴
对任意
恒成立.……………………………11分
当
时,
,∴
.
∴实数
的取值范围为
.……………………………12
分
(22)(本题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
解:
(I)如图所示,连接OP,OM.
因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.
于是∠OPA+∠OMA=180°.
由于圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.
(II)由(I)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.
由(I)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部可知∠OPM+∠
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