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(5)信息的输出,表现为解题的书写,值得注意的是,书写完成之后,信息过程并没有结束,“解答”依然向我们输入信息,表现为解后的探究.所以,波利亚特地给解题过程安排了一个必要的环节——回顾,其作用不仅能改进完善眼前的解题,而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息(即形成数学观念的基本素材,或称解题经验的信息储备),进一步升华为人们搜索、捕获、分析、加工和运用信息能力的总和——数学才能.
1-2数学解题的信息过程
由上面的分析可以看到,数学解题的信息过程包括这样一个“三位一体”的工作:
(1)有用捕捉:
从理解题意中捕捉有用的信息,主要是弄清条件是什么?
结论是什么?
各有几个?
如何建立条件与结论之间的逻辑联系?
从题目的叙述中获取“符号信息”,从题目图形中获取“形象信息”.知识经验是“有用捕捉”的基础.
(2)有关提取:
即在“有用捕捉”的刺激下,通过联想而从记忆储存中提取有关的信息,主要是定理、公式、基本模式等解题依据或解题凭借.良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础.
(3)有效组合:
将两组信息进行有效的组合,使之成为一个和谐的逻辑结构.逻辑思维能力是有效组合的基础,而“逻辑结构”是否有效,其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌.
(如何填示意图中的空白方框,请参看下例的说明)
这三个步骤往复循环、依信息的反馈而由大脑来调节.
“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”是心理活动的外部表现,它恰好对应着人的复杂心理活动的三个环节:
观察试验、联想转化、推理论证.观察试验是前提,联想转化是关键,推理证明是完成.我们的解题总是在细致观察、反复试验的基础上,进行广泛的联想、精巧的转化,最后用合乎逻辑的推理步骤把他写成无懈可击的证明.
2解题信息论的实例说明
2-1案例1
例1求证:
等腰三角形的两个底角相等.
2-1-1案例的呈现
这是初中课本上的一条定理,其思路探求的一个过程是这样的,如图1,
(1)为了证明两个角相等,我们来找这两个角所在的三角形;
(2)由于已知条件只有一个三角形,所以作辅助线
(
的平分线,也可以是
的中线等),产生
与
;
(3)证明
≌
图1
(4)由三角形全等的性质便得出所求.
由此,可以得出课本已经写出的证明.
证明1如图1,在等腰
中,作
的角平分线
得
,有
,(已知)
,(公共边)
又
,(辅助线作法)
得
,(
)
从而
.(全等三角形的对应角相等)
这个处理有分析、有启引,是注重知识的发生过程的,模仿这里的分析与证明,我们能够完成课本的作业,几何论证能力也会在这潜移默化中获得提高.通常的解题教学进行到这里就基本告一段落了,我们的建议是继续暴露数学解题的思维过程,比喻为“摸进黑房间后拉开电灯”或“登上山顶后的俯瞰”.至少可以这样说,我们虽然解出了一道题,但还没有弄清到底是怎么解的,还没有对自己的认识活动进行再认识.记得笔者初为人师时,讲完这个定理后就曾留下过很多困惑.如
(1)我不能说清本定理证明中用到了哪些知识,哪些方法,这些知识与方法又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的.
(2)我不能显浅地指出本定理证法的一般认识与基本困难.
(3)我不能用一句很简明的话让学生把握这个定理并终生难忘.
(4)我还感到,“分析”中“由于已知条件只有一个三角形”,马上就推出“所以作辅助线
”……,有点理由不足.
如果把定理比作一首古诗,那么上述证明确实向学生解释了诗的写作背景、生词生字,也有表情地朗读了一遍;
作为学生,也已经听懂了,甚至经过努力也背熟了.但是教师如果没有接下来对诗中层次结构的分析、写作技巧的剖析、中心思想的揭示等,那么学生的“自发领悟”必然还会有一批人领悟不到诗中深刻的思想、精妙的意境、优美的文笔与传颂千古的内在魅力,更谈不上理解诗人的气质与培养出有气质的诗人了.这使我想到,解题教学是不是也应该有一个类似于语文“课文分析”那样的数学“解题分析”,把定理与定理证明的本质思想向学生作适合他们认识水平的剖析.
2-1-2解题过程的分解
分解上面的证明我们可以看到有4个步骤(解题过程的结构分析),每一个步骤又有一些信息的获取与加工,共由8条信息组成(解题过程的信息流程分析):
第1步:
作
,把
分成两个三角形:
.这本身是一个形象信息(从图形中获得,记为信息1),同时,又从记忆储存中提取了一条信息:
角平分线的作法(数学技能,记为信息2).
第2步:
验证
满足全等的条件.这使用了3条信息
(1)从已知条件中提取符号信息
(记为信息3).
(2)从所附图形中提取形象信息
(记为信息4).
(3)从记忆储存中提取符号信息:
角平分线的定义(记为信息5),从而得
(符号信息,记为信息6).
第3步:
得出
.这从记忆储存中提取了三角形全等的判别定理
作为依据(记为信息7).
第4步:
.这从记忆储存中提取了三角形全等的性质定理作为依据(记为信息8).
这4个步骤和8条信息可以组成一个和谐的逻辑结构:
图2
于是,我们就弄清了:
定理证明中用到了哪些知识、哪些方法,它们又是怎样组成一个和谐的逻辑结构、逐步推进的.
2-1-3本质步骤的提炼
上面的初步分析可以解决我们的第
(1)个困惑,并且还显化了定理证明的最本质步骤:
三角形全等法的应用.为什么最本质步骤是三角形全等法的应用而不是作辅助线呢?
因为作辅助线是根据全等的需要并为全等服务的;
而全等三角形一旦得出,对应角相等是直接的三段论推理,所以证三角形全等能使解题产生实质性的进展,也更反映等腰三角形的深层结构.(具有最本质步骤的两个基本特征:
能使解题产生实质性的进展;
更反映问题的深层结构)
而这个最本质步骤在操作上是这样一个“由一找三”的过程,为了证明一个等式(
),我们去找三个等式(
,
),如果两个三角形和三个等式都很现成,那问题就解决了;
否则,我们就要作辅助线(角平分线
),产生一对三角形,并且继续进行“由一找三”的步骤(会出现
个等式).由此可以看到“全等法”证几何题的两个主要难点:
(1)数量上,欲证等式会按几何级数
飞快增长,
就可以是一道很难的题目.
(2)作辅助线,这对思维素质提出了很高的要求,也没有固定的程序.
从证明1找出“全等法”,并对“全等法”的操作与基本困难作出分析,可以认为是对第
(2)个困惑的思考与回应.
现在让我们回到证明1,看看从本质步骤(三角形全等法的应用)出发,作解题分析还能获得点什么?
首先,抓住解题的实质步骤提出问题:
什么是全等形?
是的,能够完全重合的两个图形叫做全等形.在图1中,
可以重
图3图4 图5
合,从而呈现一种对称性的美感.就是说,
绕
旋转会与
重合(图3),
重合(图4);
让这两个直角三角形一齐旋转(图5)你看到了什么?
这里的情景设计是想通过显意识的暗示来营造一个直觉发现的氛围,让人看到:
有两个三角形(图5),一个是原来的
,一个是旋转中的
,它们能够重合在一起(
重合,
重合),从而,一个无需作辅助线的新思路就会在突然的领悟中产生:
证明2如图6,在
中,有
(或
),
.图6
说明1这个证明相当于对证明1作了一个“加法”的信息交合:
由
有
相加
.(SAS或SSS)
有趣的是,我们那么熟练地将线段
看成两条重合的线段,将
看成两个重合的角,可就是不习惯,将一个三角形看成两个三角形的重合.
说明2这个证明的可靠直觉是,把等腰
纸片拿起来作一个空中的翻转后,仍与原来的位置能够重合,这个情景有可能让学生对证明终生难忘.于是,从图1到图6的返璞归真,从原证明到现证明的解题分析,使我们对定理获得了更多的理解——作辅助线只是一个途径、不作辅助线也是一个途径.设想等腰三角形是一块木板(或蛋糕),那么沿
方向把它切下去当然是一个平分的办法(图1),但是,沿水平方向把它切成两块相等的薄片也是一个平分的办法(图7).这可以认为是对第(3)、(4)个困惑进行思考的部分结果.图7
然而,事情并没有结束.
2-1-4一个质疑的释疑
《中小学数学》2004年第9期对上述证明2的逻辑合理性提出了质疑,理由是把
看成两个三角形不妥.因为在平面几何内,不共线三点惟一确定一个三角形,也就是说
是
的另一种表示方式,是指同一个三角形,考虑“
”的先决条件已经是两个全等三角形了,即把一个三角形偷换成两个全等三角形,以下证明已多余.错误的性质是违反了同一律——“偷换论题”.
更早的时候已有教师问过笔者:
证明“
全等”只不过是说
自己与自己全等,等于什么也没证.
可见,这些质疑的实质涉及全等知识的深入理解.是的,能重合的图形叫全等形,但重合有两种方式,几何学上称为直接合同(仅经平面上的平移、旋转即可重合)与镜面合同(须有空间的翻转才能重合).不共线三点
给定之后,三角形的形状和大小的确已完全确定,但对
作一个空间的翻转得出的
,已经是另一种位置的三角形了,如图8,一般情况下,只作平移、旋转不能保证这两个三角形重合(直观说,是不能保证
的
边与
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