北京市西城区届高三数学第一次模拟考试试题含答案 文Word文档格式.docx
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(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
8.已知集合
,其中
,且
.则
中所有元素之和是()
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知向量
.若
,则实数
_____.
10.某年级
名学生在一次百米测试中,成绩全部介于
秒
与
秒之间.将测试结果分成
组:
,得到如图所示的频率分
布直方图.如果从左到右的
个小矩形的面积之比为
,那么成绩在
的学生人数是_____.
11.函数
的最小正周期为_____.
12.圆
的圆心到直线
距离是_____.
13.已知函数
的零点是_____;
的值域是_____.
14.如图,已知抛物线
及两点
和
.过
分别作
轴的垂线,交抛物线于
两点,直线
轴交于点
,此时就称
确定了
.依此类推,可由
确定
.记
.
给出下列三个结论:
①数列
是递减数列;
②对
;
③若
,则
其中,所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在△
中,已知
.
(Ⅰ)求角
(Ⅱ)若
,△
的面积是
,求
.
16.(本小题满分13分)
某校高一年级开设研究性学习课程,(
)班和(
)班报名参加的人数分别是
.现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从(
)班抽取了
名同学.
(Ⅰ)求研究性学习小组的人数;
(Ⅱ)规划在研究性学习的中、后期各安排
次交流活动,每次随机抽取小组中
名同学发言.求
次发言的学生恰好来自不同班级的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,矩形
中,
分别在线段
上,
∥
,将矩形
沿
折起.记折起后的矩形为
,且平面
平面
(Ⅰ)求证:
∥平面
,求证:
(Ⅲ)求四面体
体积的最大值.
18.(本小题满分14分)
已知椭圆
的离心率为
,一个焦点为
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设直线
交椭圆
于
两点,若点
都在以点
为圆
心
的圆上,求
的值.
19.(本小题满分13分)
如图,抛物线
轴交于两点
,点
在抛物线上(点
在第一象限),
.记
,梯形
面积为
(Ⅰ)求面积
以
为自变量的函数式;
为常数,且
的最大值.
20.(本小题满分13分)
对于数列
,定义“
变换”:
将数列
变换成数列
.这种“
变换”记作
.继续对数列
进行“
变换”,得到数列
,依此类推,当得到的数列各项均为
时变换结束.
(Ⅰ)试问
经过不断的“
变换”能否结束?
若能,请依次写出经过“
变换”得到的各数列;
若不能,说明理由;
(Ⅱ)设
.若
的各项之和为
(ⅰ)求
(ⅱ)若数列
再经过
次“
变换”得到的数列各项之和最小,求
的最小值,并说明理由.
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C;
2.D;
3.D;
4.B;
5.A;
6.B;
7.C;
8.C.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.
11.
12.
13.
14.①②③.
注:
13题第一问2分,第二问3分;
14题少选1个序号给2分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由
,得
.…………3分
所以原式化为
.………4分
因为
,所以
,所以
.………6分
.…
…7分
(Ⅱ)解:
由余弦定理,
得
.……9分
因为
,
所以
.……………11分
.
……………13分
设从(
)班抽取的人数为
依题意得
,所以
研究性学习小组的人数为
.……5分
(Ⅱ)设研究性学习小组中(
)班的
人为
,(
次交流活动中,每次随机抽取
名同学发言的基本事件为:
,共
种.…9分
次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:
种.………12分
所以
次发言的学生恰好来自不同班级的概率为
.……13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为四边形
都是矩形,
所以
所以四边形
是平行四边形,……………2分
,………………3分
因为
.………………4分
(Ⅱ)证明:
连接
,设
因为平面
,
平
面
,……5分
…………6分
又
,所以四边形
为正方形,所以
.………………7分
,………………8分
.………………9分
(Ⅲ)解:
设
由(Ⅰ)得
所以四面体
的体积为
.………11分
.……………13分
当且仅当
,即
时,四面体
的体积最大.………………14分
设椭圆的半焦距为
.………………1分
由
,得
,从而
………………4分
所以,椭圆
的方程为
.……………5分
将直线
的方程代入椭圆
的方程,
消去
.……………7分
.…………9分
设线段
的中点为
…………10分由点
为圆心的圆上,得
,…………11分
即
,解得
,符合题意.…………13分
.……………14分
依题意,点
的横坐标为
的纵坐标为
.……1分
点
的横坐标
满足方程
,解得
,舍去
.……2分
.……
4分
由点
在第一象限,得
关于
的函数式为
.…………5分
由
及
.……………6分
记
则
.………………8分
令
.………………9分
①若
时,
的变化情况如下:
↗
极大值
↘
所以,当
取得最大值,且最大值为
.…………11分
②若
恒成立,
所以,
的最大值为
.…………13分
综上,
数列
不能结束,各数列依次为
….
以下重复出现,所以不会出现所有项均为
的情形.………3分
(ⅰ)因为
,所以
为
的最大项,
所以
最大,即
,或
.…………5分
当
时,可得
,故
.…7分
时,同理可得
.………8分
(ⅱ)方法一:
经过
变换”得到的数列分别为:
由此可见,经过
变换”后得到的数列也是形如“
”的数列,与数列
“结构”完全相同,但最大项减少12.
所以,数列
变换”后得到的数列为
接下
来经过“
变换”后得到的数列分别为:
,……
从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小.
所以经过
变换”得到的数列各项和最小,
的最小值为
……………13分
方法二:
若一个数列有三项,且最小项为
,较大两项相差
,则称此数列与数列
“结构相同”.
若数列
的三项为
,则无论其顺序如何,经过“
变换”得到的数列的三项为
(不考虑顺序).
所以与
结构相同的数列经过“
变换”得到的数列也与
结构相同,除
外其余各项减少
,各项和减少
因此,数列
变换”一定得到各项为
(不考虑顺序)的数列.
通过列举,不难发现各项为
的数列,无论顺序如何,经过“
变换”得到的数列会重复出现,各项和不再减少.
所以,至少通过
变换”,得到的数列各项和最小,故
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