选择性必修 第四章 数列 41数列的概念第1课时Word文件下载.docx
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梳理
(1)按项数分类,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按项的大小变化分类,从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;
各项相等的数列叫做常数列;
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
1.同一个数在一个数列中只能出现一次.(×
)
2.如果一个数列不是递增数列,则一定是递减数列.(×
3.如果已知数列的通项公式,则可以写出该数列的任意一项.(√)
题型探究
类型一 数列的分类
例1 下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.1,
,
,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-
,-
D.1,
,…,
考点 数列的分类
题点 数列的分类
答案 C
解析 A、B都是递减数列,D是有穷数列,只有C符合题意.
反思与感悟 处理数列分类问题的技巧
(1)有穷数列与无穷数列
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.
(2)递增数列与递减数列
①观察从第2项起,数列中每一项与前一项的大小关系,依据定义进行判断;
②由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低),则图象呈上升(下降)趋势,即数列递增(减).
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列?
哪些是递增数列?
哪些是递减数列?
哪些是摆动数列?
哪些是常数列?
(1)2010,2012,2014,2016,2018;
(2)0,
,…;
(3)1,
(4)-
(5)1,0,-1,…,sin
(6)9,9,9,9,9,9.
解
(1)(6)是有穷数列;
(1)
(2)是递增数列;
(3)是递减数列;
(4)(5)是摆动数列;
(6)是常数列.
类型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,-
;
(2)
,2,
,8;
(3)9,99,999,9999;
(4)2,0,2,0.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解
(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,
所以它的一个通项公式为an=
,n∈N*.
(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:
(3)各项加1后,变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列,奇数项是2,偶数项是0,所以,它的一个通项公式为an=(-1)n+1+1,n∈N*.
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,继而将an表示为n的函数关系.
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)-
(3)7,77,777,7777.
解
(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数的平方减1,
(3)这个数列的前4项可以变为
×
9,
99,
999,
9999,
即
(10-1),
(100-1),
(1000-1),
(10000-1),
(102-1),
(103-1),
(104-1),
(10n-1),n∈N*.
类型三 数列的通项公式的应用
例3 已知数列{an}的通项公式an=
(1)写出它的第10项;
(2)判断
是不是该数列中的项.
题点 判断某数是否为数列的项
解
(1)a10=
=
.
(2)令
,化简得8n2-33n-35=0,
解得n=5
当n=5时,a5=-
≠
.所以
不是该数列中的项.
引申探究
对于例3中的{an}.
(1)求an+1;
(2)求a2n.
解
(1)an+1=
(2)a2n=
反思与感悟 在通项公式an=f(n)中,an相当于y,n相当于x.求数列的某一项,相当于已知x求y,判断某数是不是该数列的项,相当于已知y求x,若求出的x是正整数,则y是该数列的项,否则不是.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an=
(n∈N*),那么
是这个数列的第___项.
题点 已知通项公式求项或项数
答案 10
解析 ∵
,∴n(n+2)=10×
12,∴n=10.
随堂检测
1.下列叙述正确的是( )
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列
是递增数列
考点 数列的概念
题点 数列的概念的理解
答案 D
解析 由数列的通项an=
知,
an+1-an=
-
>
0,
即数列
是递增数列,故选D.
2.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为( )
A.an=n,n∈N*B.an=n+1,n∈N*
C.an=n+2,n∈N*D.an=2n,n∈N*
答案 B
解析 这个数列的前4项都比序号大1,所以,它的一个通项公式为an=n+1,n∈N*.
3.已知数列{an}的通项公式an=
,n∈N*,则a1=________;
an+1=________.
答案 1
解析 a1=
=1,
an+1=
4.写出数列:
1,-3,5,-7,9,…的通项公式.
解 该数列的通项公式为an=(-1)n+1·
(2n-1),n∈N*.
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质
(1)确定性:
一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性:
数列中的数可以重复.
(3)有序性:
一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且也与这些数的排列次序有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:
①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征;
③拆项后的特征;
④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.
课时检测
一、选择题
1.已知数列{an}的通项公式为an=
,n∈N*,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0B.0,1,0,1
C.
,0,
,0D.2,0,2,0
答案 A
解析 当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的( )
A.第5项B.第6项
C.第7项D.非任何一项
解析 解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
3.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( )
A.an=n2-n+1B.an=
C.an=
D.an=n2+1
解析 令n=1,2,3,4,代入A,B,C,D检验,即可排除A,B,D,故选C.
4.数列
,…的第10项是( )
A.
B.
C.
D.
题点 已知数列的前几项求项或项数
解析 由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为
an=
,n∈N*,
当n=10时,a10=
5.已知数列
,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99中是该数列中某一项值的数应当有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 数列
,…的通项公式为
,0.94=
,0.96=
0.98=
,0.99=
都在数列
中,故有3个.
6.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为( )
A.an=n,n∈N*B.an=
,n∈N*
,n∈N*D.an=n2,n∈N*
题点 根据图形写出通项公式
解析 ∵OA1=1,OA2=
,OA3=
,…,OAn=
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