专题11 函数概念及三要素学生版Word格式文档下载.docx
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3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始
考向一函数、映射的判断
【例1】
(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
(2)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )
A.f:
x→y=
xB.f:
x
C.f:
xD.f:
【数学套路】
1.是否为函数关系的判断
(1)两个非空数集,即函数的定义域和值域是否为空,函数的定义域和值域不能为空
(2)看是否满足一个x只能对应的y,或者多个x对应一个y,即为函数。
注意:
函数为特殊的映射
2.映射
(1)两个非空集合。
【举一反三】
1.下列从集合
到集合
的对应关系中,其中
是
的函数的是
A.
,对应关系
其中
B.
C.
对应关系
D.
2.下图中,能表示函数
的图象的是()
B.
C.
D.
考向二函数定义域求法
类型一:
已知解析式求定义域
【例2-1】
(1)函数
的定义域是。
(2)函数
【套路总结】
一.已知函数解析式求定义域,一般遵循下面原则,列出不等式组解不等式。
1.分式:
分母不为0
2.根式:
开偶次方根,被开方数大于等于0
3.对数:
对数的真数大于0,底数大于0且不等于1
4.指数:
指数的底数大于0且不等于1
5.
6.正切:
7.无以上情况定义域为R
二.求函数定义域的注意点
1.不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.
2.当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
1.函数
的定义域为。
2.函数
3.函数
的定义域为_____________.
类型二求无解析式的定义域
【例2】
(1)若函数f(x)的定义域是[-1,3],则函数f(2x-1)的定义域是________
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(﹣2,0),则f(x)的定义域为( )
(3)已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为______
(4)函数
未知解析式函数的定义域求解:
一般遵循对应法则不变,括号内同范围
1.若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<
g(x)<
b即可求出y=f(g(x))的定义域;
2.若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.
的定义域是
的定义域为_________.
2.已知函数
,函数
,则
的定义域为_________
3.若函数
的定义域为________.
4.已知函数
的定义域是__________.
类型三利用定义域求参数
【例3】
(1)若函数
,则实数
的取值范围是()
或
(2)已知函数
(其中
,且
)在区间
上单调递增,则函数
的定义域为()
1.若函数
的定义域为R,则实数
的取值范围是_______.
2.若函数f(x)=
的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为________.
考向三函数的解析式求法
(1)已知f
=x2+
,求f(x)的解析式.
(2)已知f
=lgx,求f(x)的解析式.
(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
(4)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f
-1,求f(x).
(5).已知f(x)是(0,+∞)上的增函数,若f[f(x)-lnx]=1,则f(x)。
(6).若函数f(x)的图像如图所示,则f(x)的解析式可能是()
函数解析式的求法
1.待定系数法:
若已知函数的类型,可用待定系数法;
2.换元法:
已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
3.配凑法:
由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
4.方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f,f(-x)等,可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
1.设二次函数y=f(x)的最大值为13,且f(3)=f(-1)=5,求f(x)的解析式;
2.已知f
=
3.已知函数f(x)满足f
+2f
=3x,则f(-2)=________.
4.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.
考向四函数值域的求法
【例4】求下列函数的值域
(1)f(x)=log2(3x+1)
(2)f(x)=
,x∈[-3,-1](3)y=2x+
;
(4)y=x+4+
.(5)y=
(6)y=
,x∈
求函数值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,而常用的方法有:
(1)观察法;
(2)配方法;
(3)换元法;
(4)分离常数法;
(5)单调性法;
(6)数形结合法.
1.求下列函数的值域:
(1)y=3x2-x+2,x∈[1,3];
(2)y=
(3)y=x+4
(4)y=
.
考向五相等函数
【例4】判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( )
①y1=
,y2=x-5;
②f(x)=x,g(x)=
③f(x)=x,g(x)=
④f1(x)=(
)2,f2(x)=2x-5.
A.①②B.②③C.③D.③④
判断两个函数是否为相等函数,从函数的三要素判断,三要素中由两个要素相同即函数相等。
一般判断函数的定义域、化简后的解析式是否相同。
1.下列各组函数中,表示同一函数的是
A.
B.
C.
D.
2.下列函数为同一函数的是
与
3.下列各组函数中,表示同一函数的是()
B.
D.
(
)与
(
)
4.下列各组函数中,表示同一函数的是()
考向六分段函数
【例6】
(1)设函数f(x)=
则f(-2)+f(log212)=
(2)已知函数f(x)=
且f(a)=-3,则f[f(14-a)]=________.
(3)已知函数f(x)=
若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是。
一.分段函数的求值问题的解题思路
1.求函数值:
当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
2.求自变量的值:
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
二.分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.
1.已知f(x)=
且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))=________.
2.已知函数f(x)=
则f(2+log32)的值为________.
3.已知实数a≠0,函数f(x)=
若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
4.已知函数f(x)=
则f
的值是________.
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
1.给定的下列四个式子中,能确定y是x的函数的是。
①x2-y2=1;
②|x-1|+
=0;
③
④y=
2.下列对应法则f中,能构成从A到B的函数的有。
①A={0,2},B={0,1},f:
x→y=
②A={–2,0,2},B={4},f:
x→y=x2;
③A=R,B={y|y>
0},f:
④A=R,B=R,f:
x→y=2x+1.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.函数
的定义域是.
5.已知函数
,
6.若y=f(x)的定义域为(0,2],则函数g(x)=
7.函数
则函数
的定义域。
8.已知函数
的取值范围是。
9.函数
的定义域为__________.
10.记函数
的定义域为D.若在区间[-5,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率为__________.
11.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则f(x)=
12.若
对于任意实数
恒有
.
13.下列哪组中的两个函数是同一函数。
与y=x+1
D.y=x与
14.已知函数
满足
的解析式为__________.
15.函数y=2x-
的值域是________.
16函数f(x)=
17.函数y=
18.函数f(x)=
的值域为________.
19.已知
那么
等于。
20.已知函数
,若
21.已知函数
,则实数a的值是。
22.设函数
的取值范围是__________.
23.已知函数
__________
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