高考数学真题一题多解新高考I卷解析Word格式.docx

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又

【思维方式】本题的两种方法一种是直接从定义出发，用基本不等式。

另一种是从二级结论出发用

本身的范围得出结论。

椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：

两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。

2.（2021全国新高考Ⅰ卷7）若过点

可以作曲线

的两条切线，则（）

A.

B.

C.

D.

D

【知识点】

【分析】解法一：

根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：

画出曲线

的图象，根据直观即可判定点

在曲线下方和

轴上方时才可以作出两条切线.

【解法一】【详解】在曲线

上任取一点

，对函数

求导得

所以，曲线

在点

处的切线方程为

，即

由题意可知，点

在直线

上，可得

令

.

当

时，

，此时函数

单调递增，

单调递减，

所以，

由题意可知，直线

与曲线

的图象有两个交点，则

，当

，作出函数

的图象如下图所示：

由图可知，当

时，直线

的图象有两个交点.

D.

【解法二】画出函数曲线

的图象如图所示，根据直观即可判定点

轴上方时才可以作出两条切线.由此可知

【思维方式】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。

二、填空题

3.（2021全国新高考Ⅰ卷14.）已知

为坐标原点，抛物线

（

）的焦点为

为

上一点，

与

轴垂直，

轴上一点，且

，若

的准线方程为______.

【知识点】抛物线的定义和性质、圆锥曲线中的垂直

【分析】先用坐标表示

，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得

，即得结果.

【解法一】抛物线

（

）的焦点

∵P为

所以P的横坐标为

，代入抛物线方程求得P的纵坐标为

不妨设

因为Q为

，所以Q在F的右侧，

因为

，所以

的准线方程为

故答案为：

【解法二】直接使用相似中射影定理：

【思维方式】本题两种方法解决，一种利用向量数量积处理垂直关系，另一种是用射影定理解决。

可以看出来第二种方便、快捷.所以解析几何题目要多研究其几何结论。

本题体现了数形结合的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。

三、解答题

4.（2021全国新高考Ⅰ卷19.）记

是内角

的对边分别为

.已知

，点

在边

上，

（1）证明：

；

（2）若

，求

（1）证明见解析；

（2）

【知识点】正弦定理、余弦定理、解三角形

【分析】

（1）根据正弦定理的边角关系有

，结合已知即可证结论.

（2）由题设

，应用余弦定理求

、

，又

，可得

，结合已知及余弦定理即可求

【解法一】

（1）由题设，

，由正弦定理知：

∴

，得证.

（2）由题意知：

，同理

∵

，整理得

，解得

或

由余弦定理知：

不合题意；

综上，

即

可得

接方法一.

【解法三】由爪形三角形可知

两边平方可得：

又因为

【思维方式】本题第二问的三种思路是殊途同归，解法一根据余弦定理及

得到

的数量关系，结合已知条件及余弦定理求

.解法二同一个∠C的余弦值相等得到结论。

解法三是向量关系结合余弦定理得到结论。

体现了化归转化和方程的数学思想和数学抽象及直观想象的数学核心素养。

5.（2021全国新高考Ⅰ卷20.）如图，在三棱锥

中，平面

平面

的中点.

是边长为1的等边三角形，点

在棱

，且二面角

的大小为

，求三棱锥

的体积.

（1）详见解析

（2）

【知识点】垂直位置关系、二面角的求法

（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；

（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.

（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD

因为平面ABD

平面BCD

平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD，

因此AO⊥平面BCD，

平面BCD，所以AO⊥CD

（2）作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM

因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD

所以EF⊥BD,EF⊥CD,

因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC

因为FM⊥BC，

所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME

为二面角E-BC-D的平面角,

为正三角形,所以

为直角三角形

从而EF=FM=

平面BCD,

【解法二】向量法

（2）取

的中点

，因为

为正三角形，所以

过

作

交于点

两两垂直，

以点

为坐标原点，分别以

轴，

轴建立空间直角坐标系如图所示，

，1，

设

，0，

，故平面

的一个法向量为

设平面

的法向量为

所以由

，得

，故

因为二面角

解得

故

．

【思维方式】本题第二问主要是二面角的求法、方法有：

一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法、五是向量法。

体现了化归转化的数学思想和数学抽象及直观想象的数学核心素养。

6.（2021全国新高考Ⅰ卷21.）在平面直角坐标系

中，已知点

的轨迹为

（1）求

的方程；

（2）设点

上，过

的两条直线分别交

于

两点和

两点，且

，求直线

的斜率与直线

的斜率之和.

（1）

【知识点】双曲线的定义、双曲线的性质、直线和双曲线的位置关系

（1）利用双曲线的定义可知轨迹

是以点

为左、右焦点双曲线的右支，求出

的值，即可得出轨迹

，设直线

的方程为

，设点

，联立直线

的方程，列出韦达定理，求出

的表达式，设直线

的斜率为

，同理可得出

的表达式，由

化简可得

的值.

（1）因为

所以，轨迹

为左、右焦点

双曲线的右支，

设轨迹

，若过点

的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线

无公共点，

不妨直线

联立

，消去

并整理可得

设点

且

由韦达定理可得

设直线

，同理可得

，整理可得

，显然

因此，直线

与直线

的斜率之和为

【解法二】参数方程法：

代入双曲线可得

同理

即两斜率和为零。

【思维方式】本题的两种方法;

一种是代数法，另一种参数法。

求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。